Cho \(\int\limits_{1}^{3}{\frac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{dx}}=\frac{a}{b}\ln 3-c\ln 2\) với \(a,\text{ }b,\text{ }c\in \mathbb{N}*\) và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Giá trị của \(a+b+c\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
* Đặt
\(\left\{ \begin{align} & u=\ln x \\ & dv=\frac{dx}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{dx}{x} \\ & v=-\frac{1}{x+1} \\ \end{align} \right.\)
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
\(I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{dx}}\)\( =\left. -\frac{\ln x}{\left( x+1 \right)} \right|_{1}^{3}\)\( +\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{x\left( x+1 \right)}\text{dx}}\)\( =-\frac{1}{4}\ln 3+\left. \ln \left| \frac{x}{x+1} \right| \right|_{1}^{3}\)\( =\frac{3}{4}\ln 3-\ln 2\)\( =\frac{a}{b}\ln 3-c\ln 2\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=4 \\ & c=1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=8\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu