Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z-4=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 3;3;4 \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha\right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)\), \(\overrightarrow{MI}=\left( 1;2;3 \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\Delta \). Khi đó \(d\left( I,\Delta \right)=IH\le IM\).
Để \(\Delta \) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất \(\Leftrightarrow d\left( I,\Delta\right)\) lớn nhất \(\Leftrightarrow \Delta \bot IM\)
Khi đó \(\Delta \)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{MI} \right]=\left( 1;-2;1 \right)\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là
\(\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-2t \\ & z=1+t \\ \end{align} \right.\)
Do đó \(\Delta \) đi qua điểm có tọa độ \(\left( 4;-3;3 \right)\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu