Trong không gian OxyzOxyz, cho A(0;1;1)A(0;1;1), B(2;−1;1)B(2;−1;1), C(4;1;1)C(4;1;1) và (P):x+y+z−6=0(P):x+y+z−6=0. Xét điểm M(a;b;c)M(a;b;c) thuộc (P)(P) sao cho |→MA+2→MB+→MC|∣∣∣−−→MA+2−−→MB+−−→MC∣∣∣ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 2a+4b+c2a+4b+c bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Ta gọi điểm I(x;y;z)I(x;y;z).
Ta có: →MA+2→MB+→MC−−→MA+2−−→MB+−−→MC=→MI+2→MI=−−→MI+2−−→MI+→MI+→IA+−−→MI+−→IA+2→IB+→IC+2−→IB+−→IC.
Suy ra, |→MA+2→MB+→MC|∣∣∣−−→MA+2−−→MB+−−→MC∣∣∣=|4→MI+→IA+2→IB+→IC|=∣∣∣4−−→MI+−→IA+2−→IB+−→IC∣∣∣.
Ta chọn điểm I(x;y;z)I(x;y;z) sao cho →IA+2→IB+→IC=→O−→IA+2−→IB+−→IC=→O
⇔{−x+2(2−x)+4−x=01−y+2(−1−y)+1−y=01−z+2(1−z)+1−z=0⇔⎧⎪⎨⎪⎩−x+2(2−x)+4−x=01−y+2(−1−y)+1−y=01−z+2(1−z)+1−z=0
⇔{x=2y=0z=1⇔⎧⎨⎩x=2y=0z=1
⇒I(2;0;1)⇒I(2;0;1).
Vậy, với điểm I(2;0;1)I(2;0;1) ta có |→MA+2→MB+→MC|=|4→MI|∣∣∣−−→MA+2−−→MB+−−→MC∣∣∣=∣∣∣4−−→MI∣∣∣. Do I(2;0;1)∉(P)I(2;0;1)∉(P) mà M(a;b;c)∈(P)M(a;b;c)∈(P) nên |→MA+2→MB+→MC|∣∣∣−−→MA+2−−→MB+−−→MC∣∣∣ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi|4→MI|∣∣∣4−−→MI∣∣∣ có độ dài nhỏ nhất.
Vậy, để thỏa mãn điều kiện đó khi M(a;b;c)M(a;b;c) là hình chiếu của I(2;0;1)I(2;0;1) lên (P)(P).
Ta gọi dd là đường thẳng qua điểm I(2;0;1)I(2;0;1) và vuông góc với (P)(P).
Ta có phương trình của d:x−21=y1=z−11d:x−21=y1=z−11.
Do M=d∩(P)M=d∩(P) nên tọa độ điểm M(a;b;c)M(a;b;c) thỏa hệ phương trình
{a−b=2a−c=1a+b+c=6⎧⎨⎩a−b=2a−c=1a+b+c=6
⇔{a=3b=1c=2⇔⎧⎨⎩a=3b=1c=2
Suy ra 2a+4b+c=2.3+4.1+2=122a+4b+c=2.3+4.1+2=12.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu