Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)\), \(B\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 4\,;\,1\,;\,1 \right)\) và \(\left( P \right)\,:\,x+\,y+z-6\,=\,0\). Xét điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của \(\,2a+4b+c\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Ta gọi điểm \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)\( =\,\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI}\)\( +\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\)\( +2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\).
Suy ra, \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\)\( =\left| 4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right|\).
Ta chọn điểm \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\) sao cho \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\,=\,\overrightarrow{O}\,\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -x+2\left( 2-x \right)+4-x=0 \\ & 1-y+2\left( -1-y \right)+1-y\,=\,0 \\ & 1-z+2\left( 1-z \right)+1-z\,=\,0 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=\,0 \\ & z\,=\,1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\).
Vậy, với điểm \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|\). Do \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\notin \,\left( P \right)\) mà \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\in \,\left( P \right)\) nên \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi\(\left| 4\overrightarrow{MI} \right|\) có độ dài nhỏ nhất.
Vậy, để thỏa mãn điều kiện đó khi \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) là hình chiếu của \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) lên \(\left( P \right)\).
Ta gọi \(d\) là đường thẳng qua điểm \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Ta có phương trình của \(d\,:\,\frac{x-2}{1}\,=\,\frac{y}{1}\,=\,\frac{z-1}{1}\).
Do \(M=\,d\,\cap \,\left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thỏa hệ phương trình
\(\left\{ \begin{align} & a-b\,=\,2 \\ & a\,-c\,=\,1 \\ & a+b+c\,=\,6 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\,=\,3 \\ & b\,=\,1 \\ & c\,=\,2 \\ \end{align} \right.\)
Suy ra \(\,2a+4b+c=2.3+4.1+2=12\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( 2;1;3 \right),B\left( 6;5;5 \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đường kính \(AB\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) sao cho khối nón đỉnh \(A\) và đáy là hình tròn tâm \(H\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) có thể tích lớn nhất, biết rằng \(\left( P \right):2x+by+cz+d=0\) với \(b,c,d\in \mathbb{Z}\). Tính \(S=b+c+d.\)
-
Một chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng \(4\,m\,,\,AB\,=\,4\,m\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?
.PNG)
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) là \(\frac{\sqrt{6}}{4}\), từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) là \(\frac{\sqrt{15}}{10}\), từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) là \(\frac{\sqrt{30}}{20}\).và hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống đáy nằm trong tam giác \(ABC\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( -1;2;-3 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 2;0;0 \right)\) có phương trình là:
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng 1. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(B{B}'\). Mặt phẳng \(\left( M{A}'D \right)\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\). Thể tích của khối đa điện \({A}'{B}'{C}'{D}'MKCD\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
.PNG)
Tập hợp tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( 2\sin x+1 \right)=m\) có nghiệm thuộc nửa khoảng \(\left[ 0\,;\frac{\pi }{6} \right)\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( 3;-1;2 \right)\), \(B\left( -1;3;5 \right)\), \(C\left( 3;1;-3 \right)\). Đường trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) có phương trình là
-
Tập nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x+{{\log }_{16}}x=7\) là
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({{x}^{3}}-3x+2-2m=0\) có ba nghiệm thực phân biệt.
.PNG)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1\,;2 \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{1}{3}\), \(f\left( 2 \right)=0\) và \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=7\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
-
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t)=180-20t\,\left( m/s \right)\). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm \(t=0\,(~s\,)\) đến thời điểm mà vật dừng lại.
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=x.\sin 2x\) là
-
Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,\,b\,\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\) và \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất. Tính \(S=a+b\).
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích bằng \(4\pi \). Thể tích khối cầu \(\left( S \right)\) bằng:
-
Biết \(\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=2\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=5\), tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( 3-2x \right)}\text{d}x\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}\). Một vectơ chỉ phương của \(d\) là:
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( 1-i \right)\overline{z}=5+i\). Số phức \(\text{w}=2z+i\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\), \(AB=3a,\text{ }BC=5a\). Biết rằng \(SA=2a\sqrt{3}\) và \(\widehat{SAC}=30{}^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
