Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {3; - 4; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 6t\\z = - 1 - 8t\end{array} \right.\). Điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thuộc d là điểm thỏa mãn \(IA + IB\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(T = a + b + c\) bằng:

A. \(\dfrac{{23}}{{58}}\).

B. \( - \dfrac{{43}}{{58}}\).

C. \(\dfrac{{65}}{{29}}\).

D. \( - \dfrac{{21}}{{58}}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = \,\,\,\,\, - 6t\\z = - 1 - 8t\end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {4; - 6; - 8} \right)\)

\(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {3; - 4; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 4} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow u \left( {4; - 6; - 8} \right)\). Mà \(A\left( {1; - 1;2} \right) \notin d \Rightarrow AB//d \Rightarrow A,B,d\) đồng phẳng

* Xét mặt phẳng chứa \(AB\) và \(d\):

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\Delta \); \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(A\), vuông góc với d

Khi đó, giao điểm \(H\) của \(\Delta \) với \(\left( \alpha \right)\) là trung điểm của \(AA'\)

\(\left( \alpha \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {2; - 3; - 4} \right)\), đi qua \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), có phương trình:

\(2\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0\)

\(H \in d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = \,\,\,\,\,\, - 6t\\z = - 1 - 8t\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \)Giả sử \(H\left( {2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t} \right)\)

\(H \in \left( \alpha \right)\,\, \Rightarrow 2\left( {2 + 4t} \right) - 3\left( { - 6t} \right) - 4\left( { - 1 - 8t} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{{11}}{{58}}\,\,\)\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{36}}{{29}};\dfrac{{33}}{{29}};\dfrac{{15}}{{29}}} \right)\)

Ta có: \(IA + IB = IA' + IB \ge A'B\,\, \Rightarrow {\left( {IA + IB} \right)_{\min }} = A'B\) khi và chỉ khi \(I\) trùng với \({I_0}\) là giao điểm của \(A'B\) và \(\Delta \)

\(H{I_0}\) là đường trung bình của tam giác \(A'AB \Rightarrow \overrightarrow {H{I_0}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{I_0}}} - \dfrac{{36}}{{29}} = \dfrac{1}{2}.2\\{y_{{I_0}}} - \dfrac{{33}}{{29}} = \dfrac{1}{2}.\left( { - 3} \right)\\{z_{{I_0}}} - \dfrac{{15}}{{29}} = \dfrac{1}{2}.\left( { - 4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{I_0}}} = \dfrac{{65}}{{29}}\\{y_{{I_0}}} = \dfrac{{ - 21}}{{58}}\\{z_{{I_0}}} = - \dfrac{{43}}{{29}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {I_0}\left( {\dfrac{{65}}{{29}}; - \dfrac{{21}}{{58}}; - \dfrac{{43}}{{29}}} \right)\)

Vậy, để \(IA + IB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(I\left( {\dfrac{{65}}{{29}}; - \dfrac{{21}}{{58}}; - \dfrac{{43}}{{29}}} \right) \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{65}}{{29}} - \dfrac{{21}}{{58}} - \dfrac{{43}}{{29}} = - \dfrac{{21}}{{58}}\).

Chọn: D

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài