Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau \(y = \sqrt x ,y = 1\) và đường thẳng \(x = 4\) (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng \(y = 1\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\left\{ \begin{array}{l}X = x - 1\\Y = y - 1\end{array} \right.\). Ta được hệ trục tọa độ \(OXY\) như hình vẽ:
Ta có: \(y = \sqrt x \Leftrightarrow Y + 1 = \sqrt {X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt {X + 1} - 1\)
Thể tích cần tìm là:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int_0^3 {{{\left( {\sqrt {X + 1} - 1} \right)}^2}dX} = \pi \int_0^3 {\left( {X + 2 - 2\sqrt {X + 1} } \right)dX} \\\,\,\,\,\, = \pi \left. {\left( {\frac{1}{2}{X^2} + 2X - \frac{4}{3}\left( {X + 1} \right)\sqrt {X + 1} } \right)} \right|_0^3\\\,\,\,\,\, = \pi \left. {\left( {\frac{1}{2}{X^2} + 2X - \frac{4}{3}\left( {X + 1} \right)\sqrt {X + 1} } \right)} \right|_0^3\\\,\,\,\,\, = \pi \left[ {\left( {\frac{9}{2} + 6 - \frac{{32}}{3}} \right) - \left( { - \frac{4}{3}} \right)} \right] = \frac{{7\pi }}{6}\end{array}\)
Chọn: C