Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 2 \right) = 16\), \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x.f'\left( {2x} \right)dx} \).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {x.f'\left( {2x} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {x.d\left( {f\left( {2x} \right)} \right)} \\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}x\left. {.f\left( {2x} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} \\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}f\left( 2 \right) - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right)} \end{array}\)
\( = \dfrac{1}{2}f\left( 2 \right) - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} \)(đặt \(t = 2x\))
\( = \dfrac{1}{2}f\left( 2 \right) - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = \dfrac{1}{2}.16 - \dfrac{1}{4}.4 = 8 - 1 = 7} \).
Chọn: D