Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng $y = {\sin ^3}x - 3{\cos ^2}x - m\sin x - 1$  biến trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$

Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2ax + b$ có điểm cực tiểu $A\left( {2; - 2} \right)$. Khi đó $a + b = ?$

Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ${\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}\left( {x + y} \right)$ và $\frac{x}{y} = \frac{{ - a + \sqrt b }}{2}$, với a, b là hai số nguyên dương. Tính $a + b$

Biết đường thẳng $y =  - \frac{9}{4}x - \frac{1}{{24}}$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x$ tại một điểm duy nhất; ký hiệu $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ điểm đó. Tìm ${y_0}$

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ và gọi ${S_n}$ là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết ${S_7} = 77$ và ${S_{12}} = 192$. Tìm số hạng tổng quát ${u_n}$ của cấp số cộng đó

Cho hàm số $f\left( x \right) = {\ln ^2}\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)$. Tìm các giá trị của x để $f'\left( x \right) > 0$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( {1;2; - 4} \right),\,\,B\left( {1; - 3;1} \right),\,\,C\left( {2;2;3} \right)$. Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có $\int\limits_1^k {\left( {2x - 1} \right)dx}  = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của ${\left( {x\sqrt x  + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}$, với $x > 0$, nếu biết rằng $C_n^2 - C_n^1 = 44$

Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miến tôn hình tròn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Tìm điều kiện của m để phương trình $f\left( x \right) = m$ có 3 nghiệm phân biệt.

Cho hai hàm số $F\left( x \right) = \left( {{x^2} + ax + b} \right){e^{ - x}}$ và $f\left( x \right) = \left( { - {x^2} + 3x + 6} \right){e^{ - x}}$. Tìm a và b để $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$

Cho $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;a} \right]$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1\\f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;a} \right]\end{array} \right.$ và $\int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}}  = \frac{{ba}}{c}$, trong đó b, c là hai số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Khi đó $b + c$ có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Một hình vuông ABCD có cạnh AB = a, diện tích ${S_1}$. Nối 4 trung điểm ${A_1},\,{B_1},\,{C_1},\,{D_1}$ theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai là ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có diện tích ${S_2}$. Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba ${A_2}{B_2}{C_2}{D_2}$ có diện tích ${S_3}$ và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích ${S_4},\,{S_5},...$. Tính $S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}$

Biết ${x_1},\,{x_2}$, là hai nghiệm của phương trình ${\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x$ và ${x_1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)$ với a, b là hai số nguyên dương. Tính $a + b$

Cho phương trình $\cos [2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)] + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}$. Khi đặt $t = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)$, phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?

Cho số phức $z = a + bi\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)$. Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I(4;3) và bán kính R = 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của $F = 4a + 3b - 1$. Tính giá trị M + m

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y =  - {x^3} + 12x$ và $y =  - {x^2}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} - 6{x^2} - m + 1$ có các giá trị cực trị trái dấu?

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - {x^2}}}{2} & khi\,\,x < 1\\\frac{1}{x} & khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.$. Khẳng định nào dưới đây là sai?