Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng \(y = {\sin ^3}x - 3{\cos ^2}x - m\sin x - 1\) biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\sin x = t,\,\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} - mt - 4\)
Ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t - m\)
Để hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) cần: \(f'\left( t \right) \ge 0,\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)
\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t - m \ge 0\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t \ge m\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)
Xét hàm số \(\begin{array}{l}
g\left( t \right) = 3{t^2} + 6t;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\
g'\left( t \right) = 6t + 6;\,\,\,{\mkern 1mu} \\
g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1
\end{array}\)
Đặt \(\sin x = t,\,\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} - mt - 4\)
Ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t - m\)
Để hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) cần: \(f'\left( t \right) \ge 0,\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)
\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t - m \ge 0\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t \ge m\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)
Xét hàm số
\(\begin{array}{l}
g\left( t \right) = 3{t^2} + 6t;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\
g'\left( t \right) = 6t + 6;\,{\mkern 1mu} \\
g'\left( t \right) = 0\\
\Leftrightarrow t = - 1 \notin \left[ {0;1} \right]
\end{array}\)
Ta có: \(g(0) = 0;g(1) = 9 \Rightarrow \mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} g(t) = 0\)
Do đó \(m \le 0\) thì hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) khi đó hàm số \(y = {\sin ^3}x - 3{\cos ^2}x - m\sin x - 1\) đông biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2018
Trường THPT Nguyễn Trung Trực
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm điều kiện của m để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt.
-
Cho hàm số có \(y = \frac{{ax - b}}{{x - 1}}\) đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
.PNG)
-
Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _{0,02}}\left( {{{\log }_2}\left( {{3^x} + 1} \right)} \right) > {\log _{0,02}}m\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( { - \infty ;0} \right)\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{e^{ax}} - 1}}{x} & khi\,\,x \ne 0\\\frac{1}{2} & khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại \({x_0} = 0\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)
-
Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong \(y = - {x^3} + 12x\) và \(y = - {x^2}\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ là nghiệm phương trình \(2f'\left( x \right) - x.f''\left( x \right) - 6 = 0\)
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó
-
Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(288c{m^3}\). Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ \({m^2}\). Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) và gọi \({S_n}\) là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết \({S_7} = 77\) và \({S_{12}} = 192\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng đó
-
Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\). Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I(4;3) và bán kính R = 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của \(F = 4a + 3b - 1\). Tính giá trị M + m
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 2\overrightarrow k ,\,\,B\left( { - 2;2;0} \right)\) và \(C\left( {4;1; - 1} \right)\). Trên mặt phẳng (Oxz), điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A, B, C.
-
Một hình vuông ABCD có cạnh AB = a, diện tích \({S_1}\). Nối 4 trung điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1},\,{D_1}\) theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai là \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích \({S_3}\) và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích \({S_4},\,{S_5},...\). Tính \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\ln ^2}\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\). Tìm các giá trị của x để \(f'\left( x \right) > 0\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\), \(A\left( {2;1;4} \right)\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính \(T = {a^3} + {b^3} + {c^3}\)
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.
-
Với hai số thực dương a, b tùy ý và \(\frac{{{{\log }_3}5{{\log }_5}a}}{{1 + {{\log }_3}2}} - {\log _6}b = 2\). Khẳng định nào là khẳng định đúng?
-
Cho phương trình \(\cos [2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)] + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\). Khi đặt \(t = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\), phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn \(\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} + 2\left( {m - 2} \right)y - 6x + 12 + {m^2} = 0\) và \(\left( C \right):{\left( {x + m} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\) trong các vectơ dưới đây, vectơ nào là của phép tịnh tiến biến (C) thành (C’) ?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 4} \right),\,\,B\left( {1; - 3;1} \right),\,\,C\left( {2;2;3} \right)\). Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)
