Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;a} \right]\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1\\f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;a} \right]\end{array} \right.\) và \(\int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}}  = \frac{{ba}}{c}\), trong đó b, c là hai số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó \(b + c\) có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + x - 10 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng Δ cắt (P) và d lần lượt tại M và N sao cho A(1;3;2) là trung điểm MN . Tính độ dài đoạn MN .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6{x^2} - m + 1\) có các giá trị cực trị trái dấu?

Cho tam giác SAB vuông tại A, \(ABS = {60^0}\), đường phân giác trong của ABS cắt SA tại điểm I. Vẽ nửa đường tròn tâm I bán kính IA (như hình vẽ). Cho  tam giác SAB và nửa đường tròn trên cùng quay quanh SA tạo nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng \({V_1},\,{V_2}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)

Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\). Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I(4;3) và bán kính R = 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của \(F = 4a + 3b - 1\). Tính giá trị M + m

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\), \(A\left( {2;1;4} \right)\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính \(T = {a^3} + {b^3} + {c^3}\)

Tính tổng S các nghiệm của phương trình \(\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\) trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x}  - \sqrt {{x^2} - 3x} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận ngang ?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng \({45^0}\). Gọi \({V_1},\,{V_2}\) lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H;K lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD và tỉ số \(k = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Đặt \(f\left( n \right) = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} + 1\). Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} = \frac{{f\left( 1 \right).f\left( 3 \right).f\left( 5 \right)...f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( 2 \right).f\left( 4 \right).f\left( 6 \right)...f\left( {2n} \right)}}\). Tính \(\lim n\sqrt {{u_n}} \)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 2;\,\,\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 6\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx} \)

Kí hiệu \({Z_0}\) là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = {i^{2017}}{z_0}\)?

Cho hàm số có \(y = \frac{{ax - b}}{{x - 1}}\) đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn \(\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} + 2\left( {m - 2} \right)y - 6x + 12 + {m^2} = 0\) và \(\left( C \right):{\left( {x + m} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\) trong các vectơ dưới đây, vectơ nào là của phép tịnh tiến biến (C) thành (C’) ?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng \(y = {\sin ^3}x - 3{\cos ^2}x - m\sin x - 1\)  biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)

Biết \({x_1},\,{x_2}\), là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và \({x_1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với a, b là hai số nguyên dương. Tính \(a + b\)

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong \(y =  - {x^3} + 12x\) và \(y =  - {x^2}\)

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}x,\,\,g\left( x \right) = {2^x}\). Xét các mệnh đề sau:

(I). Đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng  \(y = x\)

(II). Tập xác định của hai hàm số trên là \(\mathbb{R}\).

(III). Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng 1 điểm.

(IV). Hai hàm số đều đồng biến trên tập xác định của nó.

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.

Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68.5(cm). Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích \(49.83\left( {c{m^2}} \right)\). Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có \(\int\limits_1^k {\left( {2x - 1} \right)dx}  = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x}\)