Biết đường thẳng $y =  - \frac{9}{4}x - \frac{1}{{24}}$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x$ tại một điểm duy nhất; ký hiệu $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ điểm đó. Tìm ${y_0}$

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ và gọi ${S_n}$ là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết ${S_7} = 77$ và ${S_{12}} = 192$. Tìm số hạng tổng quát ${u_n}$ của cấp số cộng đó

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$, $A\left( {2;1;4} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính $T = {a^3} + {b^3} + {c^3}$

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

Có bao nhiêu giá tri thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp chúng bằng 1?

Với hai số thực dương a, b tùy ý và $\frac{{{{\log }_3}5{{\log }_5}a}}{{1 + {{\log }_3}2}} - {\log _6}b = 2$. Khẳng định nào là khẳng định đúng?

Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ${\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}\left( {x + y} \right)$ và $\frac{x}{y} = \frac{{ - a + \sqrt b }}{2}$, với a, b là hai số nguyên dương. Tính $a + b$

Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miến tôn hình tròn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

Biết ${x_1},\,{x_2}$, là hai nghiệm của phương trình ${\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x$ và ${x_1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)$ với a, b là hai số nguyên dương. Tính $a + b$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có $\int\limits_1^k {\left( {2x - 1} \right)dx}  = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x}$

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {\log _2}x,\,\,g\left( x \right) = {2^x}$. Xét các mệnh đề sau:

(I). Đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng  $y = x$

(II). Tập xác định của hai hàm số trên là $\mathbb{R}$.

(III). Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng 1 điểm.

(IV). Hai hàm số đều đồng biến trên tập xác định của nó.

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.

Cho hai hàm số $F\left( x \right) = \left( {{x^2} + ax + b} \right){e^{ - x}}$ và $f\left( x \right) = \left( { - {x^2} + 3x + 6} \right){e^{ - x}}$. Tìm a và b để $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}$ trên tập $D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]$. Tính giá trị T của m.M

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + x - 10 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$. Đường thẳng Δ cắt (P) và d lần lượt tại M và N sao cho A(1;3;2) là trung điểm MN . Tính độ dài đoạn MN .

Cho hàm số $f\left( x \right) = {5^x}{.8^{2{x^3}}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Tìm điều kiện của m để phương trình $f\left( x \right) = m$ có 3 nghiệm phân biệt.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng ${45^0}$. Gọi ${V_1},\,{V_2}$ lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H;K lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD và tỉ số $k = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$

Tính tổng S các nghiệm của phương trình $\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0$ trong khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$

Cho hình lập phương có cạnh bằng 40cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi ${S_1},\,\,{S_2}$ lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính $S = {S_1} + {S_2}\left( {c{m^2}} \right)$

Cho số phức $z = a + bi\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)$. Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I(4;3) và bán kính R = 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của $F = 4a + 3b - 1$. Tính giá trị M + m

Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ${\log _{0,02}}\left( {{{\log }_2}\left( {{3^x} + 1} \right)} \right) > {\log _{0,02}}m$ có nghiệm với mọi $x \in \left( { - \infty ;0} \right)$