Có bao nhiêu giá tri thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp chúng bằng 1?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\)
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị khi m>0
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(A(0;m - 1),\,B( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,C(\sqrt m ; - {m^2} + m - 1)\)
\(AB = AC = \sqrt {{m^4} + m} ;\,\,BC = 2\sqrt m \)
Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)\left( {{y_C} - {y_A}} \right) - \left( {{x_C} - {x_A}} \right)\left( {{y_B} - {y_A}} \right)} \right|\)
\( = \frac{1}{2}\left| {\left( { - \sqrt m .\left( { - {m^2}} \right)} \right) - \sqrt m .\left( { - {m^2}} \right)} \right| = {m^2}\sqrt m \,\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
\(R = \frac{{AB.AC.BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{({m^4} + m).2\sqrt m }}{{4{m^2}\sqrt m }} = 1 \Leftrightarrow {m^3} - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\end{array} \right.\)
Vậy có 2 giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2018
Trường THPT Nguyễn Trung Trực