Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Gọi O là tâm của đáy ABC, \({d_1}\) là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và \({d_2}\) là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính \(d = {d_1} + {d_2}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Do tam giác ABC đều tâm O suy ra \(AO \bot BC\) tại M là trung điểm của BC
Ta có \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,MO = \frac{1}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},\,\,OA = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Từ giả thiết hình chóp đều suy ra \(SO \bot \left( {ABC} \right),\,\,SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {3{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\)
Dựng \(OK \bot SM,\,\,AH \bot SM \Rightarrow AH//OK;\,\,\,\frac{{OK}}{{AH}} = \frac{{OM}}{{AM}} = \frac{1}{3}\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SO\\BC \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot OK\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot SM\\OK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right),\,\,AH \bot \left( {SBC} \right)\left( {do\,\,AH//OK} \right)\)
Từ đó có \({d_1} = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = 3OK;\,\,\,{d_2} = d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OK\)
Trong tam giác vuông OSM có đường cao OK nên
\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{{36}}{{3{a^2}}} + \frac{9}{{24{a^2}}} = \frac{{99}}{{8{a^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{2a\sqrt 2 }}{{33}}\)
Vậy \(d = {d_1} + {d_2} = 4OK = \frac{{8a\sqrt 2 }}{{33}}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2018
Trường THPT Nguyễn Trung Trực
