Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {3m + 1} \right){.12^x} + \left( {2 - m} \right){.6^x} + {3^x} < 0\) có nghiệm đúng \(\forall \;x > 0.\)

A. \(\left( { - 2; - \frac{1}{3}} \right)\)

B. \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\)

D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta có: \(\left( {3m + 1} \right){.12^x} + \left( {2 - m} \right){.6^x} + {3^x} < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 0\).

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \({3^x} > 0\) ta được: \(\left( {3m + 1} \right){.4^x} + \left( {2 - m} \right){.2^x} + 1 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 0\).

Đặt \(t = {2^x} > {2^0} = 1\), bất phương trình trở thành: \(\left( {3m + 1} \right).{t^2} + \left( {2 - m} \right).t + 1 < 0\,\,\forall t > 1\)

\( \Leftrightarrow 3m{t^2} + {t^2} + 2t - mt + 1 < 0\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 < m\left( {t - 3{t^2}} \right)\,\,\forall t > 1\)

Ta có : \(t - 3{t^2} < 0\,\,\,\,\forall t > 1 \Rightarrow f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{t - 3{t^2}}} > m\,\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( t \right)\,\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{t - 3{t^2}}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) ta có :

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \frac{{\left( {2t + 2} \right)\left( {t - 3{t^2}} \right) - \left( {{t^2} + 2t + 1} \right)\left( {1 - 6t} \right)}}{{{{\left( {t - 3{t^2}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{t^2} - 6{t^3} + 2t - 6{t^2} - {t^2} - 2t - 1 + 6{t^3} + 12{t^2} + 6t}}{{{{\left( {t - 3{t^2}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{7{t^2} + 6t - 1}}{{{{\left( {t - 3{t^2}} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\;\;\left( {ktm} \right)\\t = \frac{1}{7}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

BBT :