Một sợi dây thép cho chiều dài \(8m,\) được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình vuông, phần thứ hai được uốn thành hình tam giác đều. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi chiều dài phần thứ nhất dùng để uốn thành hình vuông là \(8 - x\,\,\left( m \right)\) thì chiều dài phần thứ hai dùng để uốn thành tam giác đều là \(x\,\,\left( m \right)\;\;\left( {0 < x < 8} \right).\)
Khi đó ta có cạnh của hình vuông là \(\frac{{8 - x}}{4}\,\,\left( m \right) \Rightarrow \) Diện tích hình vuông là \({S_1} = \frac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}{{16}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Cạnh của tam giác đều là \(\frac{x}{3}\,\,\left( m \right) \Rightarrow \) Diện tích tam giác đều là \({S_2} = {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Tổng diện tích hai hình thu được là
\(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}{{16}}\, + {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}{{16}} + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} = \frac{{9{{\left( {8 - x} \right)}^2} + 4\sqrt 3 {x^2}}}{{144}} = \frac{{\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 144x + 576}}{{144}}\)
Ta có \({S_{\min }} \Leftrightarrow {\left[ {\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 144x + 576} \right]_{\min }} \Leftrightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{144}}{{2\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right)}} = \frac{{72}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\).
Vậy cạnh của tam giác đều là \(\frac{x}{3} = \frac{{24}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\) (m).
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành có thể tích bằng \(V.\) Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(SC\) sao cho \(EC = 2ES.\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(AE\) và song song với \(BD,\;\left( \alpha \right)\) cắt \(SB,\;SD\) lần lượt tại hai điểm \(M,\;N.\) Tính theo \(V\) thể tích khối chóp \(SAMEN.\)
-
Cho \(x,\;y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\ln x + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right).\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x + y\) là:
-
Số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
.JPG)
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {3m + 1} \right){.12^x} + \left( {2 - m} \right){.6^x} + {3^x} < 0\) có nghiệm đúng \(\forall \;x > 0.\)
-
Phương trình \({\sin ^2}x - \left( {2 + m} \right)\,\sin x + 2m = 0\) có nghiệm khi tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện
-
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}?\)
-
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \({\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} + 3 + m\) có đúng hai nghiệm thực. Tổng các phần tử của tập hợp \(S\) là:
-
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\).
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất?
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\,BC = 2a,\,AC' = 3a.\) Điểm \({\rm N}\) thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(BN = 2NB',\) điểm \(M\) thuộc cạnh \(DD'\) sao cho \(D'M = 2MD.\) Mặt phẳng \(\left( {A'M{\rm N}} \right)\) chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm \(C'.\)
-
Cho hình chóp \(SABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a,\;\;BC = 2a.\) Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD.\) Diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABCD\) là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;2} \right)?\)
-
Hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) khi tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện
-
Cho khối trụ \(\left( T \right),\;\;AB\) và \(CD\) lần lượt là hai đường kính trên hai mặt phẳng đáy của \(\left( T \right).\) Biết góc giữa \(AB,\;CD\) là \({30^0},\;AB = 6cm\) và thể tích khối \(ABCD\) là \(30c{m^3}.\) Khi đó thể tích khối trụ \(\left( T \right)\) là:
-
Với giá trị nào của tham số \(m\) thì đường thẳng \(d:2x - y + m = 0\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x - 4}}{{x + 1}}?\)
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) , tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a\) , tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\). Tính thể tích hình chóp \(S.ABC\).
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = 3a;\,\,BD = 4a.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Biết \(AC\) vuông góc với \(BD\) . Tính \(MN\)
-
Cho hàm số \(y = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
