Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = 3a;\,\,BD = 4a.$ Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm  của $AD$ và $BC.$ Biết $AC$ vuông góc với $BD$ . Tính $MN$ 

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh $a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'C'$ bằng 

Cho ${\log _2}5 = a$ và ${\log _3}5 = b.$ Khi đó, ${\log _6}5$ tính theo $a$ và $b$ là: 

Cho hàm số $y = \frac{3}{{2 - x}}$. Chọn phát biểu đúng? 

Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Biết $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = 2a.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $B$ vuông góc với $SC.$ Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành có thể tích bằng $V.$ Gọi $E$ là điểm trên cạnh $SC$ sao cho $EC = 2ES.$ Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa $AE$ và song song với $BD,\;\left( \alpha  \right)$ cắt $SB,\;SD$ lần lượt tại hai điểm $M,\;N.$ Tính theo $V$ thể tích khối chóp $SAMEN.$ 

Chị Hân hàng tháng gửi vào ngân hàng $1.500.000$ đồng, với lãi suất $0,8\%$ một tháng. Sau 1 năm chị Hân rút cả vốn lẫn lãi về mua vàng thì số chỉ vàng mua được ít nhất là bao nhiêu? Biết giá vàng tại thời điểm mua là $3.648.000$ đồng/chỉ.

Cho bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ sau. Khẳng định nào sau đây đúng?

Một sợi dây thép cho chiều dài $8m,$ được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình vuông, phần thứ hai được uốn thành hình tam giác đều. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất? 

Cho khối trụ $\left( T \right),\;\;AB$ và $CD$ lần lượt là hai đường kính trên hai mặt phẳng đáy của $\left( T \right).$ Biết góc giữa $AB,\;CD$ là ${30^0},\;AB = 6cm$ và thể tích khối $ABCD$ là $30c{m^3}.$ Khi đó thể tích khối trụ $\left( T \right)$ là:

Với giá trị nào của tham số $m,$ hàm số $y = \frac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định? 

Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3$ là 

Công thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ là:

Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABD$ đều là cạnh bằng $2$ , tam giác $ABC$ vuông tại $B,\,BC = \sqrt {3.}$ Biết khoảng cách  giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $CD$ bằng $\frac{{\sqrt {11} }}{2}$ . Khi đó độ dài cạnh $CD$ là

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 2$ có đồ thị $\left( C \right)$ . Có bao nhiêu tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua điểm $A\left( {0;2} \right)?$ 

Tổng số nghiệm của phương trình $\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1$ là 

Cho hình chóp $SABCD,$ đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB = a,\;\;BC = 2a.$  Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $ABCD.$ Diện tích $S$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABCD$ là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,\,BC = 2a,\,AC' = 3a.$ Điểm ${\rm N}$ thuộc cạnh $BB'$ sao cho $BN = 2NB',$ điểm $M$ thuộc cạnh $DD'$ sao cho $D'M = 2MD.$ Mặt phẳng $\left( {A'M{\rm N}} \right)$ chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm $C'.$

Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}?$ 

Biết $\left( {a;\,b} \right)$ là tập nghiệm của bất phương trình $\left( {x - 5} \right)\left( {\log x + 1} \right) < 0.$ Tính $10a + b = ?$ 

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 3} }}$ có 2 đường tiệm cận ngang.