Với giá trị nào của tham số \(m,\) hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x + m + 1} \right)\left( {2 - x} \right) + {x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x + 2m + 1}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\)
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định \( \Leftrightarrow y' \ge 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 4x + 2m + 1 \le 0\;\;\forall x \in D.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\4 + 2m + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2m \le - 5 \Leftrightarrow m \le - \frac{5}{2}.\)
Chọn A.