Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m\) có nghiệm \(x\in \left[ 1;2 \right]\) biết \(f\left( x \right)={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}\) ta có
\(\left\{ \begin{align} & f\left( t \right)={{x}^{3}}-m \\ & f\left( x \right)={{t}^{3}}-m \\ \end{align} \right..\)
Từ đó suy ra \(f\left( t \right)+{{t}^{3}}=f\left( x \right)+{{x}^{3}},\left( 1 \right).\)
Đặt \(g\left( x \right)=f\left( x \right)+{{x}^{3}}={{x}^{5}}+4{{x}^{3}}-4m\) thì \(g'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in R.\)
Do đó \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(R.\) Kết hợp với \(\left( 1 \right)\) ta suy ra \(t=x\) hay \(f\left( x \right)+m={{x}^{3}}\Leftrightarrow {{x}^{5}}+2{{x}^{3}}=3m.\)
Xét hàm \(h\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}\) trên \(\left[ 1;2 \right]\) ta có \(h'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}\ge 0.\)
Nên GTNN và GTLN của \(h\left( x \right)\) lần lượt là \(h\left( 1 \right)=3\) và \(h\left( 2 \right)=48.\)
Phương trình có nghiệm trên \(\left[ 1;2 \right]\) khi và chỉ khi \(3\le 3m\le 48\Leftrightarrow 1\le m\le 16.\)
Vậy có 16 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.
Chọn đáp án D.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Sở GD&ĐT Hà Tĩnh lần 1 có đáp án
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(AB\bot BC,BC\bot SC,SC\bot SA,BC=a,SC=\sqrt{15}a\) và góc giữa \(AB,SC\) bằng \({{30}^{0}}.\) Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong hình bên. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng
.png)
-
Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;+ \infty} \right)\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có tập xác định \(R\backslash \left\{ -1 \right\},\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu tiệm cân đứng và tiệm cận ngang?
.png)
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) và mặt bên \(ABB'A'\) là hình vuông cạnh bằng \(a\) (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng \(BC'\) và mặt phẳng \(\left( ABB'A' \right).\)
-
Hình đa diện bên có tất cả bao nhiêu mặt?
-
Cho hàm số \(y=-2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-5\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có hoành độ bằng 3 là
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
-
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh?
-
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\). là hình vuông cạnh bằng \(a,\) cạnh bên \(SA\). vuông góc với mặt đáy và \(SA=3a.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Đặt \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}\,f\left( x \right)=m,\mathop {\max}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}\,f\left( x \right)=M.\) Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}.\) Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x\) trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\) bằng
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-m},\) với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right)?\)
-
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích bằng 48. Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB.\) Tính thể tích \(V\) của khối tứ diện \(SMCD.\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{3x+1}{x-2}\) trên \(\left[ -1;1 \right]\) bằng
-
Cho hàm bậc ba \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(g\left( x \right)=\frac{1}{f\left( x \right)-2}\) là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
