Cho số phức z thoả mãn \(\left| z-8 \right|+\left| z+8 \right|=20.\) Gọi m, n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left| z \right|.\) Tính P = m + n.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) và \(M\left( x,y \right)\) là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức. Xét các điểm \({{F}_{1}}\left( -8;0 \right),{{F}_{2}}\left( 8;0 \right).\)
Ta có: \(M{{F}_{1}}=\sqrt{{{\left( -8-x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z+8 \right|.\)
\(M{{F}_{2}}=\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z-8 \right|.\)
\(\Rightarrow \left| z-8 \right|+\left| z+8 \right|=20\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=20\Leftrightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=20.\)
Do \(M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}\ge {{F}_{1}}{{F}_{2}}\Rightarrow \) Tập hợp điểm M là một elip có dạng \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a = 20\\ c = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 100\\ {b^2} = {a^2} - {c^2} = 36 \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \max \left| z \right| = 10\\ \min \left| z \right| = 6 \end{array} \right. \Rightarrow m + n = 16.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Bất phương trình \({{\log }_{4}}\left( x+2 \right)+x+3<{{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x} \right)+{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x+2}\) có tập nghiệm là S. Tập nào sau đây là tập con của S?
-
Gọi F(x) là nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}{{e}^{ax}}\left( a\ne 0 \right)\), sao cho \(F\left( \frac{1}{a} \right)=F\left( 0 \right)+1.\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng
-
Cho số phức \(z\ne 0\) thoả mãn \(z\sqrt{3z\overline{z}+1}=\left| z \right|\left( 2+6iz \right).\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 3a. Mặt phẳng (P) qua \({B}'\) và vuông góc với \({A}'C\) chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V1 và V2 với \({{V}_{1}}<{{V}_{2}}.\) Tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\) bằng?
-
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)x+\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+\left( m+2 \right)z+{{m}^{2}}+m+1=0\) luôn chứa đường thẳng \(\Delta \) cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc toạ độ đến \(\Delta \) là
-
Cho đồ thị các hàm số \(y={{\log }_{a}}x,\,y={{\log }_{b}}x\) như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]\) và thoả mãn \(f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x;\forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}.\) Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}.\)
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x-2y+2z-5=0.\) Gọi (P) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và tạo với \(\left( \alpha \right)\) một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng \(ax+by+cx+d=0\left( a,b,c,d\in \mathbb{Z};a,b,c,d<5 \right).\) Khi đó tích abcd bằng
-
Cho 2 vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 1;m;-1 \right),\overrightarrow{b}=\left( 2;1;3 \right).\) Tìm giá trị của m để \(\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.\)
-
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (E) có phương trình \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\,\,\left( a,b>0 \right)\) với ab = 100 và đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=10.\) Tỉ số diện tích elip (E) so với diện tích hình tròn (C) là
-
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y-2z+m=0\). Tìm giá trị không âm của tham số m để mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc với nhau.
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có \(A\left( 0;0;3 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 3;0;0 \right),D\left( 3;3;3 \right).\) Hỏi có bao nhiêu điểm \(M\left( x;y;z \right)\) (với x, y, z nguyên) nằm trong tứ diện?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là
-
Phương trình \({{\log }_{2}}\frac{x-2}{\sqrt{x-3}}={{\log }_{3}}\frac{\sqrt{x-3}}{x-2}\) có mấy nghiệm?
-
Số phức nào sau đây là số đối của số phức z, biết z có phần thực dương thoả mãn \(\left| z \right|=2\) và biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng \(y-\sqrt{3}x=0.\)
-
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}\) và đường thẳng \(d:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}.\) Góc giữa d và \(\Delta \) bằng
-
Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị như sau:
.PNG)
Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình \(f\left( g\left( x \right) \right)=0\) và \(g\left( f\left( x \right) \right)=0\) là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\frac{mx-6}{x-m+1}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định?
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right){{\left( x+1 \right)}^{6}}{{\left( x-2 \right)}^{5}}.\) Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
