Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ và thoả mãn $f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x;\forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}.$ Tính tích phân $\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}.$

Cho điểm $M\left( -3;2;4 \right)$, gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm $A\left( 1;-2;1 \right)$ và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z+m=0$. Tìm giá trị không âm của tham số m để mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc với nhau.

Cho hình bát diện đều cạnh 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Khi đó S bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{mx-6}{x-m+1}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định?

Một trang chữ của một quyển sách giáo khoa Toán học cần diện tích 384cm². Biết rằng trang giấy được căn lề trái 2cm, lề phải 2cm, lề trên 3cm, lề dưới là 3cm. Trang sách đạt diện tích nhỏ nhất thì có chiều dài và chiều rộng là:

Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị như sau:

Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình $f\left( g\left( x \right) \right)=0$ và $g\left( f\left( x \right) \right)=0$ là

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Cho đồ thị các hàm số $y={{\log }_{a}}x,\,y={{\log }_{b}}x$ như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x-2y+2z-5=0.$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa $\Delta$ và tạo với $\left( \alpha  \right)$ một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng $ax+by+cx+d=0\left( a,b,c,d\in \mathbb{Z};a,b,c,d<5 \right).$ Khi đó tích abcd bằng

Cho tam giác SOA vuông tại O có OA = 3 cm, SA = 5 cm, quay tam giác SOA xung quanh cạnh SO được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là

Giả sử đồ thị hàm số $y=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1$ có 3 điểm cực trị A, B, C với ${{x}_{A}}<{{x}_{B}}<{{x}_{C}}.$ Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Tập nghiệm S của bất phương trình ${{3}^{x}}<{{e}^{x}}$ là

Tìm các số $x,y\in \mathbb{R}$ thoả mãn $\left( 1+2y \right)i=\left( 2i-1 \right)x+1+i.$

Số phức nào sau đây là số đối của số phức z, biết z có phần thực dương thoả mãn $\left| z \right|=2$ và biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng $y-\sqrt{3}x=0.$

Kết thúc năm 2018, thu nhập bình quân đầu người của quốc gia A đạt 2300 USD/1 người/1 năm. Trong hội nghị bàn về các vấn đề tăng trưởng kinh tế, các đại biểu về kinh tế đã đặt mục tiêu thu nhập bình quân đầu người của quốc gia này vào cuối năm 2035 sẽ đạt mức 10000 USD/ 1 người/ 1 năm (theo giá hiện hành). Hỏi để đạt được mục tiêu đó, trung bình mỗi năm thu nhập bình quân đầu người của quốc gia A tăng bao nhiêu % (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ hai).

Cho số phức $z\ne 0$ thoả mãn $z\sqrt{3z\overline{z}+1}=\left| z \right|\left( 2+6iz \right).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{x}^{2}}$ là