Giả sử đồ thị hàm số $y=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1$ có 3 điểm cực trị A, B, C với ${{x}_{A}}<{{x}_{B}}<{{x}_{C}}.$ Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Phương trình ${{\log }_{2}}\frac{x-2}{\sqrt{x-3}}={{\log }_{3}}\frac{\sqrt{x-3}}{x-2}$ có mấy nghiệm?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ và thoả mãn $f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x;\forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}.$ Tính tích phân $\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}.$

Giả sử khi tính tích phân $K=\int\limits_{1}^{2}{\frac{x-1}{{{x}^{2}}}{{e}^{x}}dx}$ ta được kết quả là $\frac{a}{b}.{{e}^{2}}+c.e$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó tổng S = a + b + c bằng

Cho $\int\limits_{0}^{1}{f}\left( x \right)dx=2$ và $\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)}dx=3$, khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}$ bằng:

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Cho hình bát diện đều cạnh 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Khi đó S bằng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (E) có phương trình $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\,\,\left( a,b>0 \right)$ với ab = 100 và đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=10.$ Tỉ số diện tích elip (E) so với diện tích hình tròn (C) là

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z+m=0$. Tìm giá trị không âm của tham số m để mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc với nhau.

Tìm hệ số của đơn thức ${{a}^{3}}{{b}^{2}}$ trong khai triển nhị thức ${{\left( a+2b \right)}^{5}}.$

Tập nghiệm S của bất phương trình ${{3}^{x}}<{{e}^{x}}$ là

Nếu ${{\log }_{8}}a+{{\log }_{4}}{{b}^{2}}=5$ và ${{\log }_{4}}{{a}^{2}}+{{\log }_{8}}b=7$ thì giá trị của ab là

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $[0;\,+\infty ),$ liên tục trên khoảng $(0;\,+\infty )$ và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f(x) = m có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thoả mãn ${{x}_{1}}\in \left( 0;2 \right)$ và ${{x}_{2}}\in \left( 2;\,+\infty  \right).$

Cho điểm $M\left( -3;2;4 \right)$, gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC):

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right){{\left( x+1 \right)}^{6}}{{\left( x-2 \right)}^{5}}.$ Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{x}^{2}}$ là

Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{mx-6}{x-m+1}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định?

Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị như sau:

Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình $f\left( g\left( x \right) \right)=0$ và $g\left( f\left( x \right) \right)=0$ là

Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng