Giả sử đồ thị hàm số \(y=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1\) có 3 điểm cực trị A, B, C với \({{x}_{A}}<{{x}_{B}}<{{x}_{C}}.\) Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có: \({y}'=4\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{3}}-4mx=4x\left[ \left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-m \right].\)
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} \left( {m > 0} \right) \end{array} \right..\)
Khi m>0 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị:
\(A\left( -\sqrt{\frac{m}{{{m}^{2}}+1}};-\frac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}+{{m}^{2}}+1 \right),B\left( 0;{{m}^{2}}+1 \right),C\left( \sqrt{\frac{m}{{{m}^{2}}+1}};-\frac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}+{{m}^{2}}+1 \right).\)
Tam giác ABC cân tại B, gọi I là trung điểm của AC.
Khi đó \(BI=\frac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}.\)
Khi quay tam giác ABC quay quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là:
\(V=2.\frac{1}{3}.\pi {{r}^{2}}h=\frac{2}{3}\pi B{{I}^{2}}.IC=\frac{2}{3}\pi {{\left( \frac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1} \right)}^{2}}\sqrt{\frac{m}{{{m}^{2}}+1}}=\frac{2}{3}\pi \sqrt{\frac{{{m}^{9}}}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{5}}}}\)
Xét hàm số \(f\left( m \right)=\frac{{{m}^{9}}}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{5}}}\), ta có \({f}'\left( m \right)=\frac{{{m}^{8}}\left( 9-{{m}^{2}} \right)}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{6}}}\], với \[m>0.\)
Cho \({f}'\left( m \right)=0\Rightarrow m=3\left( m>0 \right).\)
Bảng biến thiên của hàm số y = f(m):
.PNG)
Từ bảng biến thiên ta có \(\max f\left( m \right)=f\left( 3 \right).\) Vậy thể tích lớn nhất khi \(m=3\in \left( 2;4 \right).\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Nếu \({{\log }_{8}}a+{{\log }_{4}}{{b}^{2}}=5\) và \({{\log }_{4}}{{a}^{2}}+{{\log }_{8}}b=7\) thì giá trị của ab là
-
Bất phương trình \({{\log }_{4}}\left( x+2 \right)+x+3<{{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x} \right)+{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x+2}\) có tập nghiệm là S. Tập nào sau đây là tập con của S?
-
Tập nghiệm S của bất phương trình \({{3}^{x}}<{{e}^{x}}\) là
-
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f}\left( x \right)dx=2\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)}dx=3\), khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}\) bằng:
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{x}^{2}}\) là
-
Một trang chữ của một quyển sách giáo khoa Toán học cần diện tích 384cm2. Biết rằng trang giấy được căn lề trái 2cm, lề phải 2cm, lề trên 3cm, lề dưới là 3cm. Trang sách đạt diện tích nhỏ nhất thì có chiều dài và chiều rộng là:
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y-2z+m=0\). Tìm giá trị không âm của tham số m để mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc với nhau.
-
Cho hình bát diện đều cạnh 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Khi đó S bằng
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có \(A\left( 0;0;3 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 3;0;0 \right),D\left( 3;3;3 \right).\) Hỏi có bao nhiêu điểm \(M\left( x;y;z \right)\) (với x, y, z nguyên) nằm trong tứ diện?
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right){{\left( x+1 \right)}^{6}}{{\left( x-2 \right)}^{5}}.\) Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (E) có phương trình \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\,\,\left( a,b>0 \right)\) với ab = 100 và đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=10.\) Tỉ số diện tích elip (E) so với diện tích hình tròn (C) là
-
Cho hàm số y = f(x) xác định trên \([0;\,+\infty ),\) liên tục trên khoảng \((0;\,+\infty )\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f(x) = m có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thoả mãn \({{x}_{1}}\in \left( 0;2 \right)\) và \({{x}_{2}}\in \left( 2;\,+\infty \right).\)
-
Phương trình \({{\log }_{2}}\frac{x-2}{\sqrt{x-3}}={{\log }_{3}}\frac{\sqrt{x-3}}{x-2}\) có mấy nghiệm?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\frac{mx-6}{x-m+1}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định?
-
Số phức \(z=i-2+2\left( i+1 \right)\) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là:
-
Tìm hệ số của đơn thức \({{a}^{3}}{{b}^{2}}\) trong khai triển nhị thức \({{\left( a+2b \right)}^{5}}.\)
-
Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
-
Gọi F(x) là nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}{{e}^{ax}}\left( a\ne 0 \right)\), sao cho \(F\left( \frac{1}{a} \right)=F\left( 0 \right)+1.\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Kết thúc năm 2018, thu nhập bình quân đầu người của quốc gia A đạt 2300 USD/1 người/1 năm. Trong hội nghị bàn về các vấn đề tăng trưởng kinh tế, các đại biểu về kinh tế đã đặt mục tiêu thu nhập bình quân đầu người của quốc gia này vào cuối năm 2035 sẽ đạt mức 10000 USD/ 1 người/ 1 năm (theo giá hiện hành). Hỏi để đạt được mục tiêu đó, trung bình mỗi năm thu nhập bình quân đầu người của quốc gia A tăng bao nhiêu % (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ hai).
