Gọi F(x) là nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}{{e}^{ax}}\left( a\ne 0 \right)\), sao cho \(F\left( \frac{1}{a} \right)=F\left( 0 \right)+1.\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(F\left( x \right) = \int {{x^2}{e^{ax}}dx} .\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{ax}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{a}{e^{ax}} \end{array} \right..\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{a}{x^2}{e^{ax}} - \frac{2}{a}\int {x{e^{ax}}dx} = \frac{1}{a}{x^2}{e^{ax}} - \frac{2}{a}.A\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét \(A = \int {x{e^{ax}}dx} .\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{ax}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{a}{e^{ax}} \end{array} \right..\)
\( \Rightarrow A = \frac{1}{a}x{e^{ax}} - \frac{1}{a}\int {{e^{ax}}dx} \,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(F\left( x \right)=\frac{1}{a}{{x}^{2}}{{e}^{ax}}-\frac{2}{{{a}^{2}}}x{{e}^{ax}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}\int{{{e}^{ax}}dx}=\frac{1}{a}{{x}^{2}}{{e}^{ax}}-\frac{2}{{{a}^{2}}}x{{e}^{ax}}+\frac{2}{{{a}^{3}}}{{e}^{ax}}+C.\)
Mà \(F\left( \frac{1}{a} \right)=F\left( 0 \right)+1\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{3}}}e-\frac{2}{{{a}^{3}}}e+\frac{2}{{{a}^{3}}}e+C=\frac{2}{{{a}^{3}}}+1+C\)
\(\Rightarrow {{a}^{3}}=e-2\Rightarrow a=\sqrt[3]{e-2}\Rightarrow 0<a\le 1.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
.PNG)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\frac{mx-6}{x-m+1}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y=2x+\frac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\) có điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị thuộc hình nón tâm O, bán kính \(\sqrt{68}\)?
-
Cho hàm số y = f(x) xác định trên \([0;\,+\infty ),\) liên tục trên khoảng \((0;\,+\infty )\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f(x) = m có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thoả mãn \({{x}_{1}}\in \left( 0;2 \right)\) và \({{x}_{2}}\in \left( 2;\,+\infty \right).\)
-
Nếu \({{\log }_{8}}a+{{\log }_{4}}{{b}^{2}}=5\) và \({{\log }_{4}}{{a}^{2}}+{{\log }_{8}}b=7\) thì giá trị của ab là
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng
-
Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Một lớp có 30 học sinh, số cách chọn 3 học sinh trong lớp để làm lớp trưởng, bí thư đoàn và lớp phó là:
-
Bất phương trình \({{\log }_{4}}\left( x+2 \right)+x+3<{{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x} \right)+{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x+2}\) có tập nghiệm là S. Tập nào sau đây là tập con của S?
-
Giả sử đồ thị hàm số \(y=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1\) có 3 điểm cực trị A, B, C với \({{x}_{A}}<{{x}_{B}}<{{x}_{C}}.\) Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình vuông ABCD xung quanh MN được hình trụ (T). Diện tích toàn phần của hình trụ (T) là
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x-2y+2z-5=0.\) Gọi (P) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và tạo với \(\left( \alpha \right)\) một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng \(ax+by+cx+d=0\left( a,b,c,d\in \mathbb{Z};a,b,c,d<5 \right).\) Khi đó tích abcd bằng
-
Cho điểm \(M\left( -3;2;4 \right)\), gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC):
-
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
.PNG)
-
Cho số phức z thoả mãn \(\left| z-8 \right|+\left| z+8 \right|=20.\) Gọi m, n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left| z \right|.\) Tính P = m + n.
-
Tìm hệ số của đơn thức \({{a}^{3}}{{b}^{2}}\) trong khai triển nhị thức \({{\left( a+2b \right)}^{5}}.\)
-
Cho 2 vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 1;m;-1 \right),\overrightarrow{b}=\left( 2;1;3 \right).\) Tìm giá trị của m để \(\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.\)
-
Cho đồ thị các hàm số \(y={{\log }_{a}}x,\,y={{\log }_{b}}x\) như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)x+\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+\left( m+2 \right)z+{{m}^{2}}+m+1=0\) luôn chứa đường thẳng \(\Delta \) cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc toạ độ đến \(\Delta \) là
