Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Các điểm E và \(F\) lần lượt là trung điểm của C’B’ và C’D’. Mặt phẳng (AEF) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi \({V_1}\) là thể tích khối chứa điểm A’ và \({V_2}\) là thể tích khối chứa điểm C’. Khi đó \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) là.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(G = EF \cap A'B',\,\,H = EF \cap A'D',\,\,M = AG \cap BB',\,\,N = AH \cap DD'\).
Khi đó ta có \({V_1} = {V_{A.A'GH}} - {V_{M.B'GE}} - {V_{N.D'FH}}\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{B'G}}{{C'F}} = \dfrac{{B'E}}{{C'E}} = 1 \Rightarrow B'G = C'F = \dfrac{a}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{B'GE}} = \dfrac{1}{2}B'G.B'E = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{8}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta lại có \(\dfrac{{MB'}}{{AA'}} = \dfrac{{GB'}}{{GA'}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow MB' = \dfrac{1}{3}AA' = \dfrac{a}{3}\).
.JPG)
\( \Rightarrow {V_{M.B'GE}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{8} = \dfrac{{{a^3}}}{{72}}\). Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \({S_{D'FH}} = \dfrac{{{a^2}}}{8};\,\,ND' = \dfrac{a}{3} \Rightarrow {V_{N.D'FH}} = \dfrac{{{a^3}}}{{72}}\). Ta có: \({S_{A'GH}} = {S_{A'B'C'D'}} + {S_{B'GE}} + {S_{D'FH}} - {S_{C'EF}} = {a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{8} + \dfrac{{{a^2}}}{8} - \dfrac{{{a^2}}}{8} = \dfrac{{9{a^2}}}{8}\)
\( \Rightarrow {V_{A.A'GH}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{9{a^2}}}{8} = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_1} = {V_{A.A'GH}} - {V_{M.B'GE}} - {V_{N.D'FH}} = \dfrac{{3{a^3}}}{8} - \dfrac{{{a^3}}}{{72}} - \dfrac{{{a^3}}}{{72}} = \dfrac{{25{a^3}}}{{72}}\\ \Rightarrow {V_2} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_1} = {a^3} - \dfrac{{25{a^3}}}{{72}} = \dfrac{{47{a^3}}}{{72}}\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{25}}{{47}}\).
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Thanh Xuân
Câu hỏi liên quan
-
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số\(y = \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 4}}\) là.
-
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\)với \(ABC\)là tam giác đều cạnh \(a\). \(SA \bot (ABC)\) và \(SA = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).
-
Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\). Khẳng định nào sau đây đúng.
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x + 2}}\) có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\dfrac{1}{{18}}\).
-
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) song song với đường thẳng \(\left( \Delta \right):\,\,2x + y + 1 = 0\) là.
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(g(x) = f(x) - \dfrac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x + 2\) đạt cực đại tại điểm nào?
.JPG)
-
Hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} - 4\) nghịch biến trên các khoảng.
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng.
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,{\rm{ }}AD = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 3 \). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là.
-
Hàm số liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
.JPG)
-
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\)là.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m - 4\). Tìm để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị?
-
Điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\).
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
.JPG)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên R và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.JPG)
-
Phương trình \(\cos x = \cos \dfrac{\pi }{3}\) có nghiệm là:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên m để đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho \(AB = 3\sqrt 2 \).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình\(\sqrt {2\left( {{x^2} - 1} \right)} \le x + 1\) là.
