Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB=2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) bằng 60⁰. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A'C' và BC . Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng:

Giả sử \(\left( {AMN} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = MP\)  ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {AMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AN\\ \left( {AMN} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = MP\\ \left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AN//MP\). Khi đó \(\left( {AMN} \right) \equiv \left( {AMPN} \right)\) và thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi (AMN) là tứ giác AMPN. Và mặt phẳng này chia khối lăn trụ thành hai phần MPC'.ANC và ABN.A'B'PM

Ta lại có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {AMPN} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = AM\\ \left( {AMPN} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = PN\\ \left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = CC' \end{array} \right. \Rightarrow AM.PN,CC'\\ \end{array}\) đồng quy tại S.

Gọi F là tủng điểm của B'C' ta có A'F//AN//BM, do đó MP là đường trung bình của tam giác A'C'F

\(\Rightarrow \frac{{MP}}{{A'F}} = \frac{1}{2} = \frac{{MP}}{{AN}}\)

Áp dụng đính lý Ta - lét ta có: \(\frac{{MP}}{{AN}} = \frac{{SP}}{{SN}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{2}\)

Khi đó ta có: 

\(\frac{{{V_{S.MPC'}}}}{{{V_{S.ANC}}}} = \frac{{SP}}{{SN}}.\frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{8} \\ \Rightarrow {V_{S.MPC'}} = \frac{1}{8}{V_{S.ANC}}\\ \Rightarrow {V_{ANC.MPC'}} = \frac{7}{8}{V_{S.ANC}}\)

Ta có 

\(\begin{array}{l} {V_{S.ANC}} = \frac{1}{3}SC.{S_{ANC}} = \frac{1}{3}2CC'.\frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\\ \Rightarrow {V_{ANC.MPC'}} = \frac{7}{{24}}{V_{ABC.A'B'C'}}\\ \end{array}\)

do đó ANC.MPC' là phần có thể tích nhỏ hơn

Tam giác ABC vuông cân tại C có AB=2a\( \Rightarrow AC = BC = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \)

Gọi E là trung điểm của AB, ta có \(CE\bot AB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB \bot CE\\ AB \bot CC' \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {CEC'} \right) \Rightarrow AB \bot C'E\\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {ABC} \right) \cap \left( {ABC'} \right) = AB\\ CE \subset \left( {ABC} \right),CE \bot AB\\ C'E \subset \left( {ABC'} \right),C'E \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow \,\widehat {\left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABC'} \right)} \right)} = \widehat {CE;C'E} = \widehat {CEC'} = {60^0} \end{array}\)

Xét tam giác vuông CC'E có \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qaiaadw % eacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiaadgeacaWGcbGa % eyypa0JaamyyaiabgkDiElaadoeacaWGdbGaai4jaiabg2da9iaado % eacaWGfbGaaiOlaiGacshacaGGHbGaaiOBaiaaiAdacaaIWaWaaWba % aSqabeaacaaIWaaaaOGaeyypa0JaamyyamaakaaabaGaaG4maaWcbe % aaaaa!4D6D! CE = \frac{1}{2}AB = a \Rightarrow CC' = CE.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = CC'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 {a^2} = {a^3}\sqrt 3 \)

Vậy \({V_{ANC.MPC'}} = \frac{7}{{24}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{7{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)