Cho hàm số \(y=f(x)\) biết \(f(0)=\frac{1}{2}\) và \(f'(x)=xe^{x^2}\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {xf(x)dx} \) bằng

A. \(\frac{e+1}{4}\)

B. \(\frac{e-1}{2}\)

C. \(\frac{e-1}{4}\)

D. \(\frac{e+1}{2}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = f(x)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = f'(x)dc\\ v = \frac{{{x^2} - 1}}{2} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf(x)dx = } \left. {\frac{{{x^2} - 1}}{2}f(x)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 1}}{2}f'(x)dx} \)

\([\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}f\left( 0 \right) - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 1} \right)f'(x)dx} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 1} \right)x{e^{{x^2}}}dx} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} - \frac{1}{2}I \end{array}\)

\(I = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 1} \right)f'(x)dx} \)

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\)

Đổi cận

\(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1\\ x = 1 \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l} I = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {t - 1} \right){e^t}dt} = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_0^1 {t{e^t}dt} - \int\limits_0^1 {{e^t}dt} } \right)\\ \,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_0^1 {t{e^t}dt + } \int\limits_0^1 {{e^t}dt} - \int\limits_0^1 {{e^t}dt} - \int\limits_0^1 {{e^t}dt} } \right)\\ \,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\left. {t{e^t}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^t}dt} - \int\limits_0^1 {{e^t}dt} } \right)\\ \,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {e - \left. {2{e^t}} \right|_0^1} \right) = \frac{1}{2}\left( {e - 2e + 2} \right) = \frac{{2 - e}}{2} \end{array}\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {xf(x)dx = } \frac{1}{4} - \frac{1}{2}.\frac{{2 - e}}{2} = \frac{{e - 1}}{4}\)

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài