Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB=a, AD=2a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi N là trung điểm của BC ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} DM = BN\\ DM//BN \end{array} \right. \Rightarrow \)DMBN là hình bình hành\( \Rightarrow BN//DM\)
\( \Rightarrow BM//\left( {SDN} \right) \supset SD \Rightarrow d\left( {BM;\left( {SDN} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SDN} \right)} \right)\)
Ta có \(\begin{array}{l} AM \cap \left( {SDN} \right) = D \Rightarrow \frac{{d\left( {M;\left( {SDN} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SDN} \right)} \right)}} = \frac{{MD}}{{AD}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow d\left( {M;\left( {SDN} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SDN} \right)} \right) \end{array}\)
Trong (ABCD) gọi I là trung điểm của BM
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} AM = BN\\ AM//BN \end{array} \right. \Rightarrow AMNB\) là hình bình hành, do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên I cũng là tủng điểm của AN, hay A,I,K thẳng hàng.
Xét tam giác AMB có AB=AM=a nên tam giác ABM vuông cân tại A\( \Rightarrow AI \bot BM \Rightarrow AN \bot DN\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} DN \bot AN\\ DN \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow DN \bot \left( {SAN} \right)\)
Trong (SAN) kẻ \(AH \bot SN\left( {H \in SN} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AH \bot SN\\ AH \bot DN \end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SDN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SDN} \right)} \right) = AH\)
Tam giác ABM vuông cân tại A \(\Rightarrow BM = a\sqrt 2 = AN\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAN ta có:
\(AH = \frac{{SA.AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy \(d\left( {BM;SD} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là tâm của các tâm của các mặt hình lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi 6 đỉnh M,N,P,Q,R,S là
-
Nghiệm của phương trình \(3^{x+2}=27\) là
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB=a, AD=a\sqrt2,\,SA\bot(ABCD) \,\mathrm{và}\,SA=a\), (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:
-
Cho đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Số điểm cực đại của hàm số \(g(x)=f(-x^2+x)\) là
-
Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-1;2;1), B(1;2;-3). Mặt cầu đường kính AB có phương trình
-
Họ nguyên hàm \(\int {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}dx} \) bằng
-
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + t\\ y = 1 - 2t\\ z = - 2 + t \end{array} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d
-
Một công ty may mặc có hai hệ thống máy may chạy song song. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 90%, hệ thống thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy may hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đơn hàng đúng hạn là:
-
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(v=\frac{mx-4}{x-m}\) đồng biến trên khoảng \((-1;+\infty)\) là
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm \(f'(x)=(x^2-1)(x^2-3x+2)\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \( - \log _3^2\left( {x - 1} \right) + 3{\log _3}\left( {x - 1} \right) - 2 \ge 0\) là
-
Cho \(\int\limits_1^2 {f(x)dx = 2}\) và \(\int\limits_1^2 {g(x)dx = - 3}\). Tính \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - 2g(x)} \right]dx = 2} \)
-
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;-1;2) và đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 - t\\ z = 1 + 2t \end{array} \right.\). Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d là
-
Cho hàm số \(f'(x)\) có bảng biến thiên sau
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
-
Cho hàm số y=f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị f(x) như hình vẽ. Hàm số \(g(x)=f(x^3+x)\) đạt cực tiểu tại điểm x0. Giá trị x0 thuộc khoảng nào dưới đây
-
Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
-
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = \left( {x + y - 1} \right)\left( {2x + 2y - 1} \right) - 4\left( {xy + 1} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}}\) bằng:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham m để phương trình \(\log _3^2x - m{\log _9}{x^2} + 2 - m = 0\) có nghiệm \(x\in[1;9]\)
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị \(f'(x)\) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) là
-
Cho khối cầu có thể tích bằng \(36\pi\). Diện tích mặt cầu đã cho bằng
