Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = \left( {x + y - 1} \right)\left( {2x + 2y - 1} \right) - 4\left( {xy + 1} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}}\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = \left( {x + y - 1} \right)\left( {2x + 2y - 1} \right) - 4\left( {xy - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \left( {x + y - 1} \right)\left[ {2\left( {x + y} \right) - 1} \right] - 4\left( {xy + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 2{\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 1 - 4\left( {xy + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \left( {3x + 3y + 4} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) + \left( {3x + 3y + 4} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {2{x^2} + 2{y^2}} \right) + {\log _2}2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) + \left( {3x + 3y + 4} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {\log _2}2 + \left( {2{x^2} + 2{y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) + \left( {3x + 3y + 4} \right) = {\log _2}\left( {2{x^2} + 2{y^2}} \right) + \left( {2{x^2} + 2{y^2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \end{array}\)
Xét hàm số \(f(t)=log_2t+t\,\,\,(t>0)\) ta có \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\,\,\forall t > 0\)
\(\Rightarrow\) Hàm số y=f(t) luôn đồng biến trên \((0;+\infty)\)
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3x + 3y + 4 = 2{x^2} + 2{y^2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3x + 3y + 4\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x + y \le 4 \end{array}\)
Kết hợp điều kiện đề bài ta có 0<x+y=4
Xét biểu thức \(P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}} = \frac{{2\left( {2x + y + 1} \right) + x + y - 4}}{{2x + y + 1}} = 2 + \frac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}}\)
Do \(x + y \le 4 \Leftrightarrow x + y - 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}} \le 0 \Rightarrow P \le 2\)
Vậy \({P_{max}} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 4\\ x = y \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(a\sqrt2\). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp đã cho
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị \(f'(x)\) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y=log_{2002}{(x^2+x)}\) là
-
Cho hình chóp tam giác S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), \(SA=a\sqrt3\). Tam giác ABC đều cạnh \(a \). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng
-
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB=2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) bằng 600. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A'C' và BC . Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng:
-
Cho hàm số \(y={\sqrt{x-2}\over(x^2-4)(2x-7)}\). Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{2}\). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d
-
Thể tích của hình lăng trụ tam giác đều có đường cao bằng \(a\), cạnh đáy bằng \(a\sqrt2\) là
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB=a, AD=a\sqrt2,\,SA\bot(ABCD) \,\mathrm{và}\,SA=a\), (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y=mx^3-(2m-1)x^2+2mx-m-1\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên
Số nghiệm của phương trình 2f(x)-3=0 là
-
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận
-
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;-1;2) và đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 - t\\ z = 1 + 2t \end{array} \right.\). Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(log_2{mx}=log_{\sqrt2}(x+1)\) vô nghiệm
-
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3-(m-1)x^2+(m-1)x+5\) đều có hệ số góc dương. Số phần tử của tập S là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \( - \log _3^2\left( {x - 1} \right) + 3{\log _3}\left( {x - 1} \right) - 2 \ge 0\) là
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^3-3x^2+2\) trên đoạn [-1;1] bằng
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như trong hình bên
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M(0;-1;2) và song song với hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2},{d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\) có phương trình là
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là tâm của các tâm của các mặt hình lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi 6 đỉnh M,N,P,Q,R,S là
