Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 + \sin x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0, x=\pi$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( {1 \le x \le 3} \right)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và $\sqrt {3{x^2} - 2}$.

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a, x = b\left( {a < b} \right)$, xung quanh trục Ox.

Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m². Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=e^x$, trục hoành và các đường thẳng $x=0, x=1$. Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cho $F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{{f\left( x \right)}}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)\ln x$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn [1;2], $f(1)=1$ và $f(2)=2$. Tính $I = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và thỏa mãn $f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} ,{\rm{ }} \forall x \in R.$ Tính $I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x}$ 

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \sqrt 3 {x^2}$, cung tròn có phương trình $y = \sqrt {4 - {x^2}}$ (với $0 \le x \le 2$) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Cho $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}$. Tính $F\left( {\rm{e}} \right) - F\left( 1 \right)$.

Tính tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x$:

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}$ và $F(2)=1$. Tính $F(3)$. 

Cho $\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}}  = a + b\ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2}$, với a, b là các số hữu tỉ. Tính $S = {a^3} + {b^3}$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1}$.

Cho $\int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 12$. Tính $I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x}$.

Cho $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 5$. Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]{\rm{d}}x}$.

Biết $I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}}  = \sqrt a  - \sqrt b  - c$ với $a, b, c$ là các số nguyên dương. Tính $P = a + b + c$.

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}$, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox:

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + 2x$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.$ Tìm $F(x)$

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 + \cos x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$, $x = \frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?