Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \sin x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=\pi\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^3}x.\sin x} {\rm{d}}x\).

Biết \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}}  = \sqrt a  - \sqrt b  - c\) với \(a, b, c\) là các số nguyên dương. Tính \(P = a + b + c\).

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y=e^x\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=1\). Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 5\). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]{\rm{d}}x} \).

Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\).

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = 3 - 5\sin x\) và \(f\left( 0 \right) = 10\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} {\rm{d}}x} \) bằng cách đặt \(u = {x^2} - 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 10\) và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a, x = b\left( {a < b} \right)\), xung quanh trục Ox.

Cho \(F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){{\rm{e}}^{2x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right){{\rm{e}}^{2x}}\).

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x\).

Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x\):

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + 2x\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\) Tìm \(F(x)\)

Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = 2 (như hình vẽ bên dưới). Đặt \(a = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), \(b = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 12\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x} \).

Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn [1;2], \(f(1)=1\) và \(f(2)=2\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)

Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\) và \(\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 1\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \)

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{5x - 2}}\)

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {7^x}\).