Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}\), trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox:

A. \(V = 4 - 2{\rm{e}}\)

B. \(V = \left( {4 - 2{\rm{e}}} \right)\pi \)

C. \(V = {{\rm{e}}^2} - 5\)

D. \(V = \left( {{{\rm{e}}^2} - 5} \right)\pi \)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm \(2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là:

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}} \right]}^2}} {\rm{d}}x = 4\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = {\left( {x - 1} \right)^2}\\
{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = 2\left( {x - 1} \right)\\
v = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow V = \left. {4\pi {{\left( {x - 1} \right)}^2}\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - 4\pi \int\limits_0^1 {2\left( {x - 1} \right)\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}{\rm{d}}x} = 4\pi \left. {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - 4\pi \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\)

Gọi \({V_1} = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x - 1 \Rightarrow {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\
{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x \Rightarrow v = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {V_1} = \left. {4\pi \left( {x - 1} \right)\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - 4\pi \int\limits_0^1 {\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}{\rm{d}}x} = 2\pi - \left. {\pi {{\rm{e}}^{2x}}} \right|_0^1 = 2\pi - \pi {{\rm{e}}^2} + \pi = 3\pi - \pi {{\rm{e}}^2}\)

\(V = \left. {4\pi {{\left( {x - 1} \right)}^2}\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - {V_1} = - 2\pi - \left( {3\pi - \pi {{\rm{e}}^2}} \right) = \pi \left( {{{\rm{e}}^2} - 5} \right)\,\,\)

Cách 2: Sử dụng MTCT

Phương trình hoành độ giao điểm \(2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là:

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}} \right]}^2}} {\rm{d}}x = 4\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\)