Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a, x = b\left( {a < b} \right)\), xung quanh trục Ox.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x = \frac{\pi }{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {7^x}\).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\).

Cho \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 12\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x} \).

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\)

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}\), trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox:

Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 16\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} .\)

Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\).

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 10\) và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x\).

Biết \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}}  = \sqrt a  - \sqrt b  - c\) với \(a, b, c\) là các số nguyên dương. Tính \(P = a + b + c\).

Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m². Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với \(v\left( t \right) =  - 5t + 10\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Cho \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Tính \(F\left( {\rm{e}} \right) - F\left( 1 \right)\).

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(F(2)=1\). Tính \(F(3)\). 

Cho \(F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){{\rm{e}}^{2x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right){{\rm{e}}^{2x}}\).

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{5x - 2}}\)

Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = 2 (như hình vẽ bên dưới). Đặt \(a = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), \(b = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = 3 - 5\sin x\) và \(f\left( 0 \right) = 10\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?