Cho $F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{{f\left( x \right)}}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)\ln x$.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 + \sin x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0, x=\pi$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos 3x$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {7^x}$.

Cho $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}$. Tính $F\left( {\rm{e}} \right) - F\left( 1 \right)$.

Cho $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2$ và $\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 1$. Tính $I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}$

Cho $\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 16$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} .$

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y=e^x, y=0, x=0, x=\ln 4$. Đường thẳng $x = k\,\,(0 < k < \ln 4)$ chia (H) thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm k để $S_1=2S_2$.

Cho $\int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 12$. Tính $I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x}$.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + 2x$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.$ Tìm $F(x)$

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ thoả mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$

Biết $I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}}  = \sqrt a  - \sqrt b  - c$ với $a, b, c$ là các số nguyên dương. Tính $P = a + b + c$.

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}$ và $F(2)=1$. Tính $F(3)$. 

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a, x = b\left( {a < b} \right)$, xung quanh trục Ox.

Tính tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x$:

Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với $v\left( t \right) =  - 5t + 10\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \sqrt 3 {x^2}$, cung tròn có phương trình $y = \sqrt {4 - {x^2}}$ (với $0 \le x \le 2$) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Cho $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 5$. Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]{\rm{d}}x}$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1}$.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 + \cos x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$, $x = \frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cho $\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x = a\ln 2 + b\ln 3}$ với $a, b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?