Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y=e^x, y=0, x=0, x=\ln 4$. Đường thẳng $x = k\,\,(0 < k < \ln 4)$ chia (H) thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm k để $S_1=2S_2$.

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = 3 - 5\sin x$ và $f\left( 0 \right) = 10$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 10$ và $2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2$. Tính $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và thỏa mãn $f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} ,{\rm{ }} \forall x \in R.$ Tính $I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x}$ 

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn [1;2], $f(1)=1$ và $f(2)=2$. Tính $I = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$

Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong $y = \sqrt {{x^2} + 1}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0, x=1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Tính tích phân $I = \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^3}x.\sin x} {\rm{d}}x$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1}$.

Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} {\rm{d}}x}$ bằng cách đặt $u = {x^2} - 1$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho $F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{{f\left( x \right)}}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)\ln x$.

Cho $\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}}  = a + b\ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2}$, với a, b là các số hữu tỉ. Tính $S = {a^3} + {b^3}$.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 + \cos x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$, $x = \frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m². Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Cho $\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x = a\ln 2 + b\ln 3}$ với $a, b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + 2x$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.$ Tìm $F(x)$

Cho $\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 16$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} .$

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ thoả mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos 3x$.

Cho $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2$ và $\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 1$. Tính $I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}$

Cho $F\left( x \right) =  - \frac{1}{{3{x^3}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{{f\left( x \right)}}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)\ln x$.

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \sqrt 3 {x^2}$, cung tròn có phương trình $y = \sqrt {4 - {x^2}}$ (với $0 \le x \le 2$) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng