Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
.PNG)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(a>b>0\).
Từ giả thiết ta có \(2a = 16 \Rightarrow a = 8\) và \(2b = 10 \Rightarrow b = 5\)
Vậy phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = - \frac{5}{8}\sqrt {64 - {y^2}} \,\,\,\left( {{E_1}} \right)\\
y = \frac{5}{8}\sqrt {64 - {y^2}} \,{\rm{ }}\,\,\left( {{E_2}} \right)
\end{array} \right.\)
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường \((E_1), (E_2), x=-4, x=4\) và diện tích của dải vườn là \(S = 2\int\limits_{ - 4}^4 {\frac{5}{8}\sqrt {64 - {x^2}} {\rm{d}}x} = \frac{5}{2}\int\limits_0^4 {\sqrt {64 - {x^2}} {\rm{d}}x} \)
Tính tích phân này bằng phép đổi biến \(x = 8\sin t\), ta được \(S = 80\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\)
Khi đó số tiền là \(T = 80\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).100000 = 7652891,82 \simeq 7.653.000\).
40 câu trắc nghiệm chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân ôn thi THPT QG năm 2019
Câu hỏi liên quan
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x\):
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \).
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{5x - 2}}\)
-
Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 1\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \)
-
Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}} = a + b\ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2}\), với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(S = {a^3} + {b^3}\).
-
Cho \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Tính \(F\left( {\rm{e}} \right) - F\left( 1 \right)\).
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn [1;2], \(f(1)=1\) và \(f(2)=2\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)
-
Cho \(F\left( x \right) = - \frac{1}{{3{x^3}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\).
-
Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 16\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} .\)
-
Cho \(F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){{\rm{e}}^{2x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right){{\rm{e}}^{2x}}\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} ,{\rm{ }} \forall x \in R.\) Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \)
-
Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường \(y=e^x, y=0, x=0, x=\ln 4\). Đường thẳng \(x = k\,\,(0 < k < \ln 4)\) chia (H) thành hai phần có diện tích là \(S_1\) và \(S_2\) như hình vẽ bên. Tìm k để \(S_1=2S_2\).
.PNG)
-
Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(F(2)=1\). Tính \(F(3)\).
-
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = \sqrt 3 {x^2}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) (với \(0 \le x \le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
.PNG)
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {7^x}\).
-
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = 2 (như hình vẽ bên dưới). Đặt \(a = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), \(b = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), mệnh đề nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a, x = b\left( {a < b} \right)\), xung quanh trục Ox.
-
Biết \(I = \int\limits_3^4 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2} + x}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\), với \(a, b, c\) là các số nguyên. Tính \(S=a+b+c\)
