Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}} = a + b\ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2}\), với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(S = {a^3} + {b^3}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCách 1. Đặt \(t = {{\rm{e}}^x} \Rightarrow {\rm{d}}t = {{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x\). Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 1 \Rightarrow t = {\rm{e}}\)
\(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x}\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)}}} = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{{\rm{d}}t}}{{t\left( {t + 1} \right)}}} = \int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{t + 1}}} \right){\rm{d}}t = } \left. {\left( {\ln \left| t \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_1^{\rm{e}} = \left( {1 - \ln \left( {1 + {\rm{e}}} \right)} \right) - ( - \ln 2)\)
\( = 1 + \ln \frac{2}{{1 + {\rm{e}}}} = 1 - \ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow S = {a^3} + {b^3} = 0\)
Cách 2. \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right) - {{\rm{e}}^x}}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}{\rm{d}}x} = \left. x \right|_0^1 - \left. {\ln \left| {{{\rm{e}}^x} + 1} \right|} \right|_0^11 - \ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2}\).
Suy ra a = 1 và b = - 1. Vậy \(S = {a^3} + {b^3} = 0\).
Phân tích phương án nhiễu:
- Khi tính sai tích phân hs sẽ không chọn được kết quả đúng.
40 câu trắc nghiệm chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân ôn thi THPT QG năm 2019
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 16\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} .\)
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} {\rm{d}}x} \) bằng cách đặt \(u = {x^2} - 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 1\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \)
-
Cho \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Tính \(F\left( {\rm{e}} \right) - F\left( 1 \right)\).
-
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = \sqrt 3 {x^2}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) (với \(0 \le x \le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
.PNG)
-
Cho \(\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x = a\ln 2 + b\ln 3} \) với \(a, b\) là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\)
-
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}\), trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox:
-
Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với \(v\left( t \right) = - 5t + 10\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y=e^x\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=1\). Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \sin x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=\pi\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(F(2)=1\). Tính \(F(3)\).
-
Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
.PNG)
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \).
-
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
.PNG)
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x\).
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x.\sin x} {\rm{d}}x\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} ,{\rm{ }} \forall x \in R.\) Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \)
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {7^x}\).
-
Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\).
