Tính tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x$:

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( {1 \le x \le 3} \right)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và $\sqrt {3{x^2} - 2}$.

Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m². Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{5x - 2}}$

Biết $I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}}  = \sqrt a  - \sqrt b  - c$ với $a, b, c$ là các số nguyên dương. Tính $P = a + b + c$.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=e^x$, trục hoành và các đường thẳng $x=0, x=1$. Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + 2x$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.$ Tìm $F(x)$

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y=e^x, y=0, x=0, x=\ln 4$. Đường thẳng $x = k\,\,(0 < k < \ln 4)$ chia (H) thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm k để $S_1=2S_2$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - x$ và đồ thị hàm số $y = x - {x^2}$.

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ thoả mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$

Biết $I = \int\limits_3^4 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2} + x}}}  = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5$, với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $S=a+b+c$

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \sqrt 3 {x^2}$, cung tròn có phương trình $y = \sqrt {4 - {x^2}}$ (với $0 \le x \le 2$) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Cho $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 5$. Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]{\rm{d}}x}$.

Cho $\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 16$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} .$

Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với $v\left( t \right) =  - 5t + 10\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và thỏa mãn $f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} ,{\rm{ }} \forall x \in R.$ Tính $I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x}$ 

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}$ và $F(2)=1$. Tính $F(3)$. 

Cho $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}$. Tính $F\left( {\rm{e}} \right) - F\left( 1 \right)$.

Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = 2 (như hình vẽ bên dưới). Đặt $a = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$, $b = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$, mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 + \sin x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0, x=\pi$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = 3 - 5\sin x$ và $f\left( 0 \right) = 10$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?