Biết \(I = \int\limits_3^4 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2} + x}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\), với \(a, b, c\) là các số nguyên. Tính \(S=a+b+c\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCách 1:
\(I = \int\limits_3^4 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2} + x}}} \). Ta có: \(\frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}.\)
Khi đó: \(I = \int\limits_3^4 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2} + x}}} = \int\limits_3^4 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x = } \left. {\left[ {\ln x - \ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_3^4 = \left( {\ln 4 - \ln 5} \right) - \left( {\ln 3 - \ln 4} \right) = 4\ln 2 - \ln 3 - \ln 5.\)
Suy ra: \(a = 4,b = - 1,c = - 1.\) Vậy S = 2
Cách 2: Casio
Ta có: \(I = \int\limits_3^4 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2} + x}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5} \Rightarrow {{\rm{e}}^I} = {{\rm{e}}^{a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5}} = {{\rm{e}}^{\ln \left( {{2^a}{{.3}^b}{{.5}^c}} \right)}}\) \( \Rightarrow {{\rm{e}}^I} = {2^a}{.3^b}{.5^c}\)
Hay \(\frac{{16}}{{15}} = {2^a}{.3^b}{.5^c} \Leftrightarrow {2^4} = {2^a}{.3^{b + 1}}{.5^{c + 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b + 1 = 0\\
c + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b = - 1\\
c = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow S = a + b + c = 2\).