Cho hình hộp đứng \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat{BAD}=120{}^\circ \). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\), góc tạo bởi \({C}'G\) với mặt phẳng đáy bằng \(30{}^\circ \). Thể tích khối hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
\(\widehat{BAD}=120{}^\circ \Rightarrow \widehat{ABC}=60{}^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều\(\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=2.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\).
Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\) nên \(AG=\frac{2}{3}AO=\frac{1}{3}AC\Rightarrow CG=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}a\).
Ta có \(C\) là hình chiếu của \(C'\) trên \(\left( ABCD \right)\) nên \(GC\) là hình chiếu của \(GC'\) trên \(\left( ABCD \right)\)
Nên \(\left( GC',\left( ABCD \right) \right)\)\( =\left( GC',GC \right)\)\( =\widehat{C'GC}\)\( =30{}^\circ \)\(\Rightarrow CC'=CG.\tan \widehat{C'GC}\)\( =\frac{2a\sqrt{3}}{9}\).
Khi đó \({{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}\)\( =CC'.{{S}_{ABCD}}\)\( =\frac{2a\sqrt{3}}{9}\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}}{3}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Chuyên Trần Phú