Cho hình chóp \(S . A B C D\) có đáy là hình thoi cạnh a ,\(\widehat{ B A D}=60^{\circ},S B=S D=S C\) , M là trung điểm của SD , H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và CM
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có ABCD là hình thoi có \(\widehat{B A D}=60^{\circ}\) nên tam giác BDC đều cạnh a.
Có \(\left\{\begin{array}{l} S B=S C=S D \\ S H \perp(A B C D) \end{array} \Rightarrow H\right.\) là trọng tâm tam giác BCD.
Gọi I ,N lần lượt là trung điểm của DH, BC.
\(\triangle S D H \text { có } M I\) là đường trung bình
\(\Rightarrow M I / / S H \Rightarrow S H / /(M I C) \Rightarrow d(S H, C M)=d(S H,(M C I))=d(H,(C M I))=H K\)
H K là đường cao của \(\Delta I H C\)
Ta có: \(S_{\Delta H C}=\frac{1}{2} \cdot I H \cdot C N=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot D N \cdot C N=\frac{1}{6} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2}=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{24}\)
\(\begin{array}{l} S_{\Delta H C}=\frac{1}{2} \cdot H K \cdot C I \Rightarrow H K=\frac{2 S_{\triangle H C}}{C I} \\ \Delta D I C \text { có: } I C=\sqrt{D I^{2}+D C^{2}-2 \cdot D I \cdot D C \cdot \cos 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{12}} a \end{array}\)
Vậy \(H K=\frac{2 \mathrm{S}_{\mathrm{NHC}}}{I C}=\frac{2 \mathrm{a}^{2} \sqrt{3}}{24} \cdot \sqrt{\frac{7}{12}} \cdot a=\frac{a \sqrt{7}}{14}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi