Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết k/c từ \(A\) đến mp \(\left( SBC \right)\) là \(\frac{\sqrt{6}}{4}\), từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) là \(\frac{\sqrt{15}}{10}\), từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) là \(\frac{\sqrt{30}}{20}\).và hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống đáy nằm trong tam giác \(ABC\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi \(O\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)
Đặt \(d\left( A,BC \right)=a,d\left( B,AC \right)=b,d\left( C,AB \right)=c,SO=h\)
Ta có \({{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{\Delta OBC}}+{{S}_{\Delta OAC}}+{{S}_{\Delta OAB}}\Rightarrow a+b+c=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1 \right)\)
Mặt khác \(\frac{d\left( O,\left( SBC \right) \right)}{d\left( A,\left( SBC \right) \right)}=\frac{OM}{AM}=\frac{OI}{AK}=\frac{2a}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( O,\left( SBC \right) \right)=\frac{2a}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{{{h}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow a=h\)
Tương tự\(\frac{d\left( O,\left( SAC \right) \right)}{d\left( B,\left( SAC \right) \right)}=\frac{d\left( O,AC \right)}{d\left( B,AC \right)}==\frac{2b}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( O,\left( SAC \right) \right)=\frac{2b}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{15}}{10}=\frac{b}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{{{h}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}\Rightarrow b=2h\)
Tương tự\(\frac{d\left( O,\left( SAB \right) \right)}{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}=\frac{d\left( O,AB \right)}{d\left( C,AB \right)}==\frac{2c}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( O,\left( SAC \right) \right)=\frac{2c}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{30}}{20}=\frac{c}{\sqrt{10}}\)
\(\Rightarrow \frac{10}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{h}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\Rightarrow c=3h\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{12}\Rightarrow V=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{48}\).
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Hữu Trang
Câu hỏi liên quan
-
Tại SEA Games 2019, môn bóng chuyền nam có 8 đội bóng tham dự, trong đó có 2 đôi Việt Nam và Thái Lan. Các đội bóng được chia ngẫu nhiên thành 2 bảng có số đội bóng bằng nhau. Xác suất để hai đội Việt Nam và Thái Lan nằm hai bảng khác nhau bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(3\left| z+\overline{z} \right|+2\left| z-\overline{z} \right|=12\) và \(\left| z+2-3i \right|=\left| \overline{z}-4+i \right|\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) biết \(A\left( 0\,;0\,;0 \right)\), \(B\left( 1\,;0\,;0 \right)\), \(D\left( 0\,;1\,;0 \right)\) và \({{A}_{1}}\left( 0\,;0\,;1 \right)\). Gọi \(\left( P \right)\text{:}\,\,ax+by+cz-3=0\) là phương trình mặt phẳng chứa \(C{{D}_{1}}\) và tạo với mặt phẳng \(\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)\) một góc có số đo nhỏ nhất. Giá trị của \(T=a+b+c\) bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số \(y={{e}^{3f\left( 2-x \right)+1}}+{{3}^{f\left( 2-x \right)}}\) đồng biến trên khoảng nào?
.PNG)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng?
-
Cho biết \(\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=2\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=5\), tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( 3-2x \right)}\text{d}x\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) và \(AB=3a,\text{ }BC=5a\). Biết rằng \(SA=2a\sqrt{3}\) và \(\widehat{SAC}=30{}^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\), mp \(\left( \alpha \right):x+y+z-4=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để BPT \({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\) đúng với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\). Tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng?
-
Cho phương trình \({{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)-\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}=2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\), với \(m\) là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của \(m\) để phương trình có nghiệm thực?
-
Môđun của số phức sau đây \(z=(-4+3i).i\) bằng?
-
Họ nguyên hàm của hàm số sau đây \(f\left( x \right)=\frac{1}{x}\) là?
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA=SB=SC=SD=4\sqrt{11}\) và đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(8\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)\), \(B\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 4\,;\,1\,;\,1 \right)\) và \(\left( P \right)\,:\,x+\,y+z-6\,=\,0\). Xét điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt GTNN. Giá trị của \(\,2a+4b+c\) bằng?
-
Cho hình nón có thiết diện qua trục là 1 tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({{120}^{0}}\), cạnh bên bằng \(2\). Chiều cao \(h\) của hình nón là?
-
Cho 2 số thực \(a\),\(b\) thoả mãn \(2{{\log }_{3}}\left( a-2b \right)={{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b\) và \(a>2b>0\). Khi đó \(\frac{a}{b}\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), tam giác \(ABC\) với \(A\left( 3;-1;2 \right)\), \(B\left( -1;3;5 \right)\) và \(C\left( 3;1;-3 \right)\). Đường trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) có phương trình là?
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích bằng \(4\pi \). Tính thể tích khối cầu \(\left( S \right)\)?
-
Cho CSN \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{2}}=-2\). Giá trị của \({{u}_{2019}}\) bằng?
