Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để BPT \({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\) đúng với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\). Tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\)\(\Leftrightarrow \)\({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}+1\ge {{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx\)
\(\Leftrightarrow \)\({{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}+{{x}^{2}}+1\ge {{\left( mx \right)}^{3}}+mx\), \(\forall x\in \left[ 1;3 \right]\)\(\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\)\(\Rightarrow \)\({f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\), \(\forall t\in \mathbb{R}\) nên \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó \(\left( 1 \right)\)\(\Leftrightarrow \)\(f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge f\left( mx \right)\)\(\Leftrightarrow \)\({{x}^{2}}+1\ge mx\)\(\Leftrightarrow \)\(m\le \frac{{{x}^{2}}+1}{x}\), \(\forall x\in \left[ 1;3 \right]\)\(\Leftrightarrow \)\(m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\).
Đặt \(g\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\)\(\Rightarrow \)\({g}'\left( x \right)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}\); \({g}'\left( x \right)=0\)\(\Rightarrow \)\)x=1\).
\(g\left( 1 \right)=2\); \(g\left( 3 \right)=5\)\(\Rightarrow \)\(\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=2\)\(\Rightarrow \)\(m\le 2\).
Suy ra \(S=\left\{ 1;2 \right\}\). Vậy tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng \(3\).
Chọn A
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Hữu Trang
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\), mp \(\left( \alpha \right):x+y+z-4=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Cho 2 số thực \(a\),\(b\) thoả mãn \(2{{\log }_{3}}\left( a-2b \right)={{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b\) và \(a>2b>0\). Khi đó \(\frac{a}{b}\) bằng?
-
Tính tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng?
-
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số sau \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3x-6{{m}^{3}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\text{ }+\infty \right)\) là?
-
Cho 1 chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng \(4\,m\,,\,AB\,=\,4\,m\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?
.PNG)
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu có tâm \(I\left( -1;2;-3 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 2;0;0 \right)\) có phương trình là?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(3\left| z+\overline{z} \right|+2\left| z-\overline{z} \right|=12\) và \(\left| z+2-3i \right|=\left| \overline{z}-4+i \right|\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách giữa \(\left( P \right):x+2y+2z=0\) & \(\left( Q \right):x+2y+2z-12=0\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}\). VTCP của \(d\) là?
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA=SB=SC=SD=4\sqrt{11}\) và đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(8\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng?
-
Tập nghiệm của BPT \({{\log }_{2}}\left( 4x+8 \right)-{{\log }_{2}}x\le 3\) là?
-
Cho CSN \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{2}}=-2\). Giá trị của \({{u}_{2019}}\) bằng?
-
Họ nguyên hàm của hàm số sau đây \(f\left( x \right)=\frac{1}{x}\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số \(y={{e}^{3f\left( 2-x \right)+1}}+{{3}^{f\left( 2-x \right)}}\) đồng biến trên khoảng nào?
.PNG)
-
Tập nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x+{{\log }_{16}}x=7\) là?
-
Tại SEA Games 2019, môn bóng chuyền nam có 8 đội bóng tham dự, trong đó có 2 đôi Việt Nam và Thái Lan. Các đội bóng được chia ngẫu nhiên thành 2 bảng có số đội bóng bằng nhau. Xác suất để hai đội Việt Nam và Thái Lan nằm hai bảng khác nhau bằng?
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau \(f\left( x \right)=x.\sin 2x\) là?
-
Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,\,b\,\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\) và \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất. Tính giá trị của \(S=a+b\)?
-
Cho biết \(\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=2\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=5\), tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( 3-2x \right)}\text{d}x\) bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mp đáy và \(SA=2a\), gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\). Tính côsin của góc \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(BM\) và \(\left( ABC \right)\)?
