Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)\), \(B\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 4\,;\,1\,;\,1 \right)\) và \(\left( P \right)\,:\,x+\,y+z-6\,=\,0\). Xét điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt GTNN. Giá trị của \(\,2a+4b+c\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa gọi điểm \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)\( =\,\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI}\)\( +\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\)\( +2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\).
Suy ra, \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\)\( =\left| 4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right|\).
Ta chọn điểm \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\) sao cho \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\,=\,\overrightarrow{O}\,\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -x+2\left( 2-x \right)+4-x=0 \\ & 1-y+2\left( -1-y \right)+1-y\,=\,0 \\ & 1-z+2\left( 1-z \right)+1-z\,=\,0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=\,0 \\ & z\,=\,1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\).
Vậy, với điểm \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|\). Do \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\notin \,\left( P \right)\) mà \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\in \,\left( P \right)\) nên \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi\(\left| 4\overrightarrow{MI} \right|\) có độ dài nhỏ nhất.
Vậy, để thỏa mãn điều kiện đó khi \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) là hình chiếu của \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) lên \(\left( P \right)\).
Ta gọi \(d\) là đường thẳng qua điểm \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Ta có phương trình của \(d\,:\,\frac{x-2}{1}\,=\,\frac{y}{1}\,=\,\frac{z-1}{1}\).
Do \(M=\,d\,\cap \,\left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thỏa hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{align} & a-b\,=\,2 \\ & a\,-c\,=\,1 \\ & a+b+c\,=\,6 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\,=\,3 \\ & b\,=\,1 \\ & c\,=\,2 \\ \end{align} \right.\)
Suy ra \(\,2a+4b+c=2.3+4.1+2=12\).
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Hữu Trang
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tham số \(m\) để ĐTHS \(y=\frac{\left( m+1 \right)x-5m}{2x-m}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\), mp \(\left( \alpha \right):x+y+z-4=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Cho biết \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=-3\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g(x)\text{d}x}=2\), khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
-
Môđun của số phức sau đây \(z=(-4+3i).i\) bằng?
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( 1-i \right)\overline{z}=5+i\). Cho biết số phức \(\text{w}=2z+i\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách giữa \(\left( P \right):x+2y+2z=0\) & \(\left( Q \right):x+2y+2z-12=0\) bằng?
-
Cho CSN \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{2}}=-2\). Giá trị của \({{u}_{2019}}\) bằng?
-
Tập nghiệm của BPT \({{\log }_{2}}\left( 4x+8 \right)-{{\log }_{2}}x\le 3\) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) và \(AB=3a,\text{ }BC=5a\). Biết rằng \(SA=2a\sqrt{3}\) và \(\widehat{SAC}=30{}^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng?
-
Cho 1 chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng \(4\,m\,,\,AB\,=\,4\,m\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?
.PNG)
-
Cho phương trình \({{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)-\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}=2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\), với \(m\) là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của \(m\) để phương trình có nghiệm thực?
-
Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,\,b\,\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\) và \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất. Tính giá trị của \(S=a+b\)?
-
Cho \(\int\limits_{1}^{3}{\frac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{dx}}=\frac{a}{b}\ln 3-c\ln 2\) với \(a,\text{ }b,\text{ }c\in \mathbb{N}*\) và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị của \(a+b+c\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số \(y={{e}^{3f\left( 2-x \right)+1}}+{{3}^{f\left( 2-x \right)}}\) đồng biến trên khoảng nào?
.PNG)
-
Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng \(\sqrt{3}\). Tính thể tích khối lập phương đó?
-
Cho hình nón có thiết diện qua trục là 1 tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({{120}^{0}}\), cạnh bên bằng \(2\). Chiều cao \(h\) của hình nón là?
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau \(f\left( x \right)=x.\sin 2x\) là?
-
Ký hiệu \({{z}_{1}},\text{ }{{z}_{2}}\) là 2 nghiệm phức của pt \({{z}^{2}}+2z+11=0\). Khi đó giá trị biểu thức \(A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\) bằng?
-
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để BPT \({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\) đúng với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\). Tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng?
