Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng 1. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(B{B}'\). Mặt phẳng \(\left( M{A}'D \right)\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\). Tính thể tích của khối đa điện \({A}'{B}'{C}'{D}'MKCD\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Ta có \({{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}=1.1.1=1\).
Gọi \(d\) là đường trung bình đi qua \(M\) của \(\Delta BC{B}'\). Suy ra \(d\,\text{//}\,{B}'C\). Suy ra \(d\,\text{//}\,{A}'D\) do cùng song song với \({B}'C\). Suy ra \(d\subset \left( M{A}'D \right)\). Do đó \(K=d\cap BC\) hay \(K\) là trung điểm \(BC\).
Suy ra \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}>{{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'DC}}=\frac{1}{2}{{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\frac{1}{2}\). Do vậy chọn đáp án D. \(\frac{17}{24}\).
Trong trường hợp có nhiều hơn 1 đáp án lớn hơn \(\frac{1}{2}\). Ta tiến hành tính thể tích khối \({A}'{B}'{C}'{D}'MKCD\) như sau:
Cách 1: \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}={{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'DC}}+{{V}_{D.{A}'{B}'M}}+{{V}_{D.{B}'MKC}}\)
\({{V}_{D.{A}'{B}'M}}=\frac{1}{3}\,.\,DA\,.\,{{S}_{{A}'{B}'M}}=\frac{1}{3}\,.\,1\,.\,\frac{1}{2}\,.\,1\,.\,\frac{1}{2}=\frac{1}{12}\)
\({{V}_{D.{B}'MKC}}=\frac{1}{3}\,.\,DC\,.\,{{S}_{{B}'MKC}}=\frac{1}{3}\,.\,DC\,.\,\frac{3}{4}\,.\,{{S}_{B{B}'C}}=\frac{1}{3}\,.\,1\,.\,\frac{3}{4}\,.\,\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
Vậy \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{8}=\frac{17}{24}\).
Cách 2: \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}={{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{MBK.{A}'AD}}\)
\({{V}_{MBK.A'AD}}=\frac{1}{3}\,.\,AB\,.\,\left( {{S}_{{A}'AD}}+{{S}_{MBK}}+\sqrt{{{S}_{{A}'AD}}.{{S}_{MBK}}} \right)=\frac{1}{3}.\,1\,.\,\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{1}{8}} \right)=\frac{7}{24}\)
Vậy \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}=1-\frac{7}{24}=\frac{17}{24}\).
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Hữu Trang
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu có tâm \(I\left( -1;2;-3 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 2;0;0 \right)\) có phương trình là?
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z+2i.\overline{z}=1+17i\). Khi đó giá trị của \(\left| z \right|\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\), mp \(\left( \alpha \right):x+y+z-4=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
-
Ký hiệu \({{z}_{1}},\text{ }{{z}_{2}}\) là 2 nghiệm phức của pt \({{z}^{2}}+2z+11=0\). Khi đó giá trị biểu thức \(A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\) bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) và \(AB=3a,\text{ }BC=5a\). Biết rằng \(SA=2a\sqrt{3}\) và \(\widehat{SAC}=30{}^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mp đáy và \(SA=2a\), gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\). Tính côsin của góc \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(BM\) và \(\left( ABC \right)\)?
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích bằng \(4\pi \). Tính thể tích khối cầu \(\left( S \right)\)?
-
Tính tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng?
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( 1-i \right)\overline{z}=5+i\). Cho biết số phức \(\text{w}=2z+i\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số \(y={{e}^{3f\left( 2-x \right)+1}}+{{3}^{f\left( 2-x \right)}}\) đồng biến trên khoảng nào?
.PNG)
-
Cho 1 chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng \(4\,m\,,\,AB\,=\,4\,m\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?
.PNG)
-
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{2}}\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|-{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|=3\) bằng?
-
Cho biết \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=-3\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g(x)\text{d}x}=2\), khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}\). VTCP của \(d\) là?
-
Tìm tham số \(m\) để ĐTHS \(y=\frac{\left( m+1 \right)x-5m}{2x-m}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\)?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(3\left| z+\overline{z} \right|+2\left| z-\overline{z} \right|=12\) và \(\left| z+2-3i \right|=\left| \overline{z}-4+i \right|\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) biết \(A\left( 0\,;0\,;0 \right)\), \(B\left( 1\,;0\,;0 \right)\), \(D\left( 0\,;1\,;0 \right)\) và \({{A}_{1}}\left( 0\,;0\,;1 \right)\). Gọi \(\left( P \right)\text{:}\,\,ax+by+cz-3=0\) là phương trình mặt phẳng chứa \(C{{D}_{1}}\) và tạo với mặt phẳng \(\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)\) một góc có số đo nhỏ nhất. Giá trị của \(T=a+b+c\) bằng?
-
Hàm số sau \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}} \right){{\left( x+2 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là?
-
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số sau \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3x-6{{m}^{3}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\text{ }+\infty \right)\) là?
