Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm là \({f}'(x)=\ln \left( x+a \right),\forall x>-a,\,\ a\) là số thực dương và \(f(0)=a\ln a\). Biết \(\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)\text{d}x}=0,\) khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(a\in \left( 2;e \right).\)

B. \(a\in \left( 0;1 \right).\)

C. \(a\in \left( 1;\sqrt{2} \right).\)

D. \(a\in \left( \frac{e}{2};2 \right).\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

\({{f}^{\prime }}(x)=\ln \left( x+a \right)\Rightarrow f\left( x \right)=\left( x+a \right)\ln \left( x+a \right)-x+C\).

Vì \(f\left( 0 \right)=a\ln a\Rightarrow \left( 0+a \right)\ln \left( 0+a \right)-0+C=a\ln a\Rightarrow C=0\).

\(\Rightarrow f\left( x \right)=\left( x+a \right)\ln \left( x+a \right)-x\)

\(\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{a}{\left( \left( x+a \right)\ln \left( x+a \right)-x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{a}{\left( x+a \right)\ln \left( x+a \right)\text{d}x}-\int\limits_{0}^{a}{x\text{d}x}={{I}_{1}}-{{I}_{2}}\).

\(\begin{align} & {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{a}{\left( x+a \right)\ln \left( x+a \right)\text{d}x}\\ &=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+a\,x \right).\ln \left( x+a \right) \right|_{0}^{a}-\int\limits_{0}^{a}{\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+a\,x \right).\frac{1}{x+a}dx} \\ & \,\,\,\,\,=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\ln \left( 2a \right)-\int\limits_{0}^{a}{\left( \frac{1}{2}\left( x+a \right)-\frac{1}{2}{{a}^{2}}.\frac{1}{x+a} \right)dx}\\&=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\ln \left( 2a \right)-\left. \left[ \frac{1}{2}\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+a\,x \right)-\frac{1}{2}{{a}^{2}}.\ln \left( x+a \right) \right] \right|_{0}^{a} \\ & \,\,\,\,\,=2{{a}^{2}}\ln \left( 2a \right)-\frac{1}{2}{{a}^{2}}\ln a-\frac{3{{a}^{2}}}{4} \\ \end{align}\)

\({{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{a}{x\text{d}x}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\)

\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)\text{d}x}=2{{a}^{2}}\ln 2a-\frac{1}{2}{{a}^{2}}\ln a-\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}}{2}=2{{a}^{2}}\ln 2a-\frac{1}{2}{{a}^{2}}\ln a-\frac{5{{a}^{2}}}{4}\)

Theo giả thiết \(\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)\text{d}x}=0\)

\(\begin{align} & \Rightarrow 2{{a}^{2}}\ln 2a-\frac{1}{2}{{a}^{2}}\ln a-\frac{5{{a}^{2}}}{4}=0\\& \Rightarrow 2\ln 2a-\frac{1}{2}\ln a=\frac{5}{4}\,\,\,\,\,\left( a>0 \right) \\ & \Rightarrow 8\ln 2a-2\ln a=5\Rightarrow \ln 256{{a}^{6}}=5\\ &\Rightarrow a=\sqrt[6]{\frac{{{e}^{5}}}{256}}\approx 0,58\in \left( 0,1 \right) \\ \end{align}\)

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài