Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD=2\sqrt{2},\,\,AB=1,\,\,\)
\(SA=SB,\,\)\(SC=SD.\) Biết rằng hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SCD \right)\) vuông góc với nhau và tổng diện tích của hai tam giác \(SAB\) và \(SCD\) bằng \(\sqrt{3}.\) thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\)
Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) suy ra \(SM\bot AB\)
Vì \((SAB)\bot (SCD)\)suy ra \(SM\bot (SCD)\)
\(\Rightarrow SM\bot SN;(SMN)\bot (ABCD)\)
Kẻ \(SH\bot MN\)suy ra \(SH\bot (ABCD)\)
Ta có: \({{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SCD}}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}.AB.SM+\frac{1}{2}.CD.SN=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow SM+SN=2\sqrt{3}\)
Tam giác \(SMN\) vuông tại \(S\)nên \(S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}={{(2\sqrt{2})}^{2}}=8\)
Giải hệ
\(\left\{ \begin{matrix} SM+SN=2\sqrt{3} \\ S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=8 \\ \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow SM=1+\sqrt{3};SN=-1+\sqrt{3}\)
\(SH=\frac{SM.SN}{MN}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vậy thể tích khối chóp \({{V}_{SABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{2}{3}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Kiệm