Cho hàm số \(f(x)\) dương thỏa mãn \(f(0)=e\) và \({x^2}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right),\forall x \ne \pm 1\). Giá trị \(f\left( {\frac{1}{2}} \right)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({x^2}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right),\forall x \ne \pm 1 \Rightarrow f'\left( x \right).\left( {{x^2} - 1} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{{x^2} - 1}}\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{1}{{{x^2} - 1}}} } dx \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right|\left| \begin{array}{l}
^{\frac{1}{2}}\\
_0
\end{array} \right. = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|\left| \begin{array}{l}
^{\frac{1}{2}}\\
_0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right| - \ln \left| e \right| = \frac{1}{2}\left( {\ln \frac{1}{3} - \ln 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right| - 1 = - \frac{1}{2}\ln 3 \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right| = \ln \frac{e}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \left| {f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right| = \frac{e}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{e}{{\sqrt 3 }}\) (do hàm số \(f(x)\) dương)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Sở GD & ĐT Yên Bái lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = {\log _a}x,0 < a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có điểm cực tiểu là:
-
Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( { - x} \right) + {\log _3}\left( {x + 3} \right) = {\log _3}5\) là:
-
Số nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {\frac{{{{5.2}^x} - 8}}{{{2^x} + 2}}} \right) = 3 - x\) là:
-
Hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - 1 = 0\) là
.png)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, \(AB = a,SA = 2a,SA \bot \left( {ABC} \right)\). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
-
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({9^x} - {8.3^x} + 15 = 0\) là
-
Thể tích khối chóp có diện tích đáy là B và chiều cao h bằng
-
Cho \(\int {{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^2}dx = mx + n\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{p}{{x + 1}} + C} \). Giá trị của biểu thức m + n + p bằng
-
Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Diện tích của hình cầu (S) theo a, b, c bằng
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) là
-
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Biết khoảng cách từ O tới \(\left( \alpha \right)\) bằng d. Nếu d < R thì giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với mặt cầu S(O;R) là đường tròn có bán kính bằng
-
Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành. Tỉ số thể tích của khối tứ diện AA 'B 'C và khối lăng trụ đã cho là:
-
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;3;5} \right),B\left( { - 5; - 3; - 1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
-
Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?
-
Cho các số thực a, b thỏa mãn \(0 < a < 1 < b,ab > 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\log _a}ab + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}}\) bằng
-
Cho \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( {x + 1} \right)} dx = - 3\). Giá trị của \(\int\limits_0^1 {f\left( {x - 1} \right)} dx\) bằng
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \left| {{x^2} - 4x} \right|\) và \(y=2x\) bằng
