Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết $A\left( {2;0;0} \right),$ $B\left( {0;3;0} \right)$ và $C\left( {0;0;4} \right)$

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y =  - {3^x},$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 4$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left( {0;1; - 1} \right),$ $B\left( {1;1;2} \right),$ $C\left( {1; - 1;0} \right)$ và $D\left( {0;0;1} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng $\frac{1}{{27}}$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Trong không gian Oxyz, các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là $\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k$ cho điểm $M\left( {3; - 4;12} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Phần thực của số phức $\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)$ là:

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$ là:

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi các đường $x = 0,$ $x = \pi ,$ $y = 0$ và $y =  - \cos x$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),$ $y = g\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và các đường thẳng $x = a,$ $x = b$ là:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {1;9} \right]$, thỏa mãn $\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx = 7}$ và $\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx = 3}$. Tính giá trị biểu thức $P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.}$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {0;0;1} \right),$ $B\left( {0;2;0} \right),$ $C\left( {3;0;0} \right)$. Gọi $H\left( {x;y;z} \right)$ là trực tâm của tam giác ABC. Tính $k = x + 2y + z.$

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - x$ và đồ thị hàm số $y = x - {x^2}$.

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3$ là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;2;1} \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z + 7 = 0$ theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:

Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$ là:

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx =  - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}}$ với $a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}$, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $T = a + b + c.$

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {1; - 4; - 3} \right)$ và $\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow n$ làm vecto pháp tuyến là

Cho ${z_1};\,\,{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$, biết ${z_1} - {z_2}$ có phần ảo là số thực âm. Tìm phần ảo của số phức ${\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2$.

Cho tích phân $I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x + 3}}{x}dx}$. Nếu đặt $t = \ln x$ thì:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {2;3;5} \right)$. Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.

Số phức $z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}$ có phần thực là

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right).$