Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$ là:

Số phức $z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}$ có phần thực là

Cho hai số phức ${z_1} =  - 1 + 2i;$ ${z_2} = 1 + 2i$. Tinh $T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ biết phương trình $F\left( x \right) = 0$ có một nghiệm bằng $\frac{\pi }{4}.$

Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết $A\left( {2;0;0} \right),$ $B\left( {0;3;0} \right)$ và $C\left( {0;0;4} \right)$

Cho ${z_1};\,\,{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$, biết ${z_1} - {z_2}$ có phần ảo là số thực âm. Tìm phần ảo của số phức ${\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2$.

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {2;3;5} \right)$. Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4$ và các đường thẳng $y = 0,$ $x =  - 1,$ $x = 5$ bằng:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt x \cos \frac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \frac{\pi }{2},\,\,x = \pi$. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng $\left( H \right)$ quay xung quanh trục Ox.

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I\left( {3;4; - 5} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + 6y - 3z + 4 = 0$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với $\left( P \right)$ là:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right).$

Biết $\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = a\ln 2 + b$ với $a,\,\,b$ là các số hữu tỉ. Khi đó ${b^2} - 2a$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}$ và $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}$. Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {0;0;1} \right),$ $B\left( {0;2;0} \right),$ $C\left( {3;0;0} \right)$. Gọi $H\left( {x;y;z} \right)$ là trực tâm của tam giác ABC. Tính $k = x + 2y + z.$

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3$ là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;2;1} \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z + 7 = 0$ theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:

Trong không gian Oxyz,  cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$. Đường thẳng đi qua điểm $M\left( {2;1; - 1} \right)$ và song song với đường thẳng d có phương trình là:

Cho các số phức ${z_1} = 3 + 4i,$ ${z_2} = 5 - 2i$. Tìm số phức liên hơp $\overline z$ của số phức $z = 2{z_1} + 3{z_2}$.

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx =  - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}}$ với $a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}$, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $T = a + b + c.$

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left( {0;1; - 1} \right),$ $B\left( {1;1;2} \right),$ $C\left( {1; - 1;0} \right)$ và $D\left( {0;0;1} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng $\frac{1}{{27}}$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.