Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 7 = 0\) theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\) là:

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) biết phương trình \(F\left( x \right) = 0\) có một nghiệm bằng \(\frac{\pi }{4}.\)

Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức \(z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}}\) là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\). Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3\) là:

Trong không gian Oxyz, biết \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chứa trục Ox. Tính \(k = \frac{b}{c}.\)

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0;1; - 1} \right),\) \(B\left( {1;1;2} \right),\) \(C\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(D\left( {0;0;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng \(\frac{1}{{27}}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Trong không gian Oxyz, các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k \) cho điểm \(M\left( {3; - 4;12} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính môđun \(\left| z \right|\) của số phức \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1\).

Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết \(A\left( {2;0;0} \right),\) \(B\left( {0;3;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;4} \right)\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\).

Cho các số phức \({z_1} = 3 + 4i,\) \({z_2} = 5 - 2i\). Tìm số phức liên hơp \(\overline z \) của số phức \(z = 2{z_1} + 3{z_2}\).

Trong không gian Oxyz,  cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) và song song với đường thẳng d có phương trình là:

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = 0,\) \(x = \pi ,\) \(y = 0\) và \(y =  - \cos x\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;0;1} \right),\) \(B\left( {0;2;0} \right),\) \(C\left( {3;0;0} \right)\). Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính \(k = x + 2y + z.\)

Phần thực của số phức \(\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)\) là:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {1;4;4} \right)\) và \(B\left( { - 1;0;2} \right).\)

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow n \) làm vecto pháp tuyến là

Số phức \(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}\) có phần thực là