Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x + 3}}{x}dx} \). Nếu đặt \(t = \ln x\) thì:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \cos \frac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \frac{\pi }{2},\,\,x = \pi \). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \(\left( H \right)\) quay xung quanh trục Ox.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right).\)

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y =  - {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Phần thực của số phức \(\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)\) là:

Tính môđun \(\left| z \right|\) của số phức \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1\).

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) là:

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = 0,\) \(x = \pi ,\) \(y = 0\) và \(y =  - \cos x\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

Tính tích phân \(I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} .\)

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3\) là:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\).

Trong không gian Oxyz,  cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) và song song với đường thẳng d có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\). Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow n \) làm vecto pháp tuyến là

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x =  - 1,\) \(x = 5\) bằng:

Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = a\ln 2 + b\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Khi đó \({b^2} - 2a\) bằng

Cho các số phức \({z_1} = 3 + 4i,\) \({z_2} = 5 - 2i\). Tìm số phức liên hơp \(\overline z \) của số phức \(z = 2{z_1} + 3{z_2}\).

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;1;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(x + y + 3z + 5 = 0\) có phương trình là

Số phức \(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}\) có phần thực là

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx =  - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}} \) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}\), phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(T = a + b + c.\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: