Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;0;1} \right),\) \(B\left( {0;2;0} \right),\) \(C\left( {3;0;0} \right)\). Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính \(k = x + 2y + z.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 6 = 0\)
Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\).
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {x;y;z - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BH} = \left( {x;y - 2;z} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 2;0} \right);\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {3;0; - 1} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 0\\3x - z = 0\\2x + 3y + 6z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{{49}}\\y = \frac{{18}}{{49}}\\z = \frac{{36}}{{49}}\end{array} \right.\).
Vậy \(k = x + 2y + z = \frac{{12}}{7}.\)