Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC là một tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)Khi đó \(SH\bot BC.\) Vì \(\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)\) nên \(SH\bot \left( ABC \right).\) Kẻ \(SK\bot AC\). Vì \(SH\bot AC\) nên \(AC\bot \left( SHK \right)\Rightarrow \left( SAC \right)\bot \left( SHK \right).\) Kẻ \(HI\bot SK\,\,\left( I\in SK \right)\Rightarrow HI\bot \left( SAC \right).\)
Ta có: \(\frac{HC}{BC}=\frac{d\left( H;\left( SAC \right) \right)}{d\left( B;\left( SAC \right) \right)}=\frac{1}{2}\Rightarrow d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2d\left( H,\left( SAC \right) \right)=2HI.\) Ta có \(HK=HC\sin \widehat{C}=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)
Tam giác SBC đều cạnh a \(\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Xét tam giác SHK vuông tại H có đường cao HI ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{{16}}}} = \frac{{20}}{{3{a^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\\ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\end{array}\)
Chọn đáp án C.
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2022-2023
Trường THPT Hùng Vương
