Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh \(A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 0),C(0 ; 0 ; 6), D(2 ; 4 ; 6)\) .Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Viết phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu (S)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình mặt cầu có dạng:
\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 a x-2 b y-2 c z+d=0\)
Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có:
\(\left\{\begin{array}{l} 2^{2}+0^{2}+0^{2}-2 a \cdot 2-2 b \cdot 0-2c \cdot 0+d=0 \\ 0^{2}+4^{2}+0^{2}-2 a \cdot 0-2b \cdot 4-2 c \cdot 0+d=0 \\ 0^{2}+0^{2}+6^{2}-2 a \cdot 0-2 b \cdot 0-2 c \cdot 6+d=0 \\ 2^{2}+4^{2}+6^{2}-2 a \cdot 2-2 b \cdot 4-2 c \cdot 6+d=0 \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} -4 a+d=-4 \\ -8 b+d=-16 \\ -12 c+d=-36 \\ -4 a-8 b-12 c+d=-56 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=2 \\ c=3 \\ d=0 \end{array}\right.\right.\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z=0 \Rightarrow I(1 ; 2 ; 3) \text { và } R=\sqrt{14} \Rightarrow R^{\prime}=2 \sqrt{14}\)
Vậy mặt cầu (S') có tâm \(I(1 ; 2 ; 3) \text { và } R^{\prime}=2 \sqrt{14}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=56\)
